Algebra Esempi

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ .

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ come ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $25$ e $144$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi $169$ come $13^{2}$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

Passaggio 3.3.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$64 a^{3} = 13^{3}$

Passaggio 3.3.1.6

Eleva $13$ alla potenza di $3$ .

$64 a^{3} = 2197$

Passaggio 4

Risolvi per $a$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $2197$ da entrambi i lati dell'equazione.

$64 a^{3} - 2197 = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $64 a^{3}$ come ${(4 a)}^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $2197$ come $13^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

Passaggio 4.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 4 a$ e $b = 13$ .

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.4

Semplifica.

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Passaggio 4.2.4.1

Applica la regola del prodotto a $4 a$ .

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.4.3

Moltiplica $13$ per $4$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.4.4

Eleva $13$ alla potenza di $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $4 a - 13$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

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Passaggio 4.4.1

Imposta $4 a - 13$ uguale a $0$ .

$4 a - 13 = 0$

Passaggio 4.4.2

Risolvi $4 a - 13 = 0$ per $a$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Somma $13$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 a = 13$

Passaggio 4.4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 a = 13$ e semplifica.

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Passaggio 4.4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 a = 13$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Passaggio 4.4.2.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{13}{4}$

Passaggio 4.5

Imposta $16 a^{2} + 52 a + 169$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $16 a^{2} + 52 a + 169$ uguale a $0$ .

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Passaggio 4.5.2

Risolvi $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ per $a$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = 52$ e $c = 169$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.2.3.1.1

Eleva $52$ alla potenza di $2$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ .

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Passaggio 4.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $169$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.3

Sottrai $10816$ da $2704$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 8112$ come $- 1 (8112)$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8112)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.7

Riscrivi $8112$ come $52^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.5.2.3.1.7.1

Scomponi $2704$ da $8112$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.7.2

Riscrivi $2704$ come $52^{2}$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.1.9

Sposta $52$ alla sinistra di $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 4.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 4.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 4.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 4.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ vera.

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$