Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{5} {(x - 2)}^{2} + 3$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3 = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} + 3 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{5} \cdot {(y - 2)}^{2} = x - 3$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{5}$ e ${(y - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = x - 3$

Passaggio 3.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 5 (x - 3)$

Passaggio 3.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{{(y - 2)}^{2}}{5} = 5 (x - 3)$

Passaggio 3.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(y - 2)}^{2} = 5 (x - 3)$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.1

Semplifica $5 (x - 3)$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${(y - 2)}^{2} = 5 x + 5 \cdot - 3$

Passaggio 3.5.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

${(y - 2)}^{2} = 5 x - 15$

Passaggio 3.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y - 2 = \pm \sqrt{5 x - 15}$

Passaggio 3.7

Scomponi $5$ da $5 x - 15$ .

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 (x) - 15}$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $5$ da $- 15$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 x + 5 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.3

Scomponi $5$ da $5 x + 5 \cdot - 3$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{5 (x - 3)}$

Passaggio 3.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - 2 = \sqrt{5 (x - 3)}$

Passaggio 3.8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Passaggio 3.8.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - 2 = - \sqrt{5 (x - 3)}$

Passaggio 3.8.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Passaggio 3.8.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

$y = - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[3, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\sqrt{5 (x - 3)} + 2$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{5 (x - 3)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$5 (x - 3) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 (x - 3) \geq 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 (x - 3) \geq 0$ .

$\frac{5 (x - 3)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (x - 3)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi $x - 3$ per $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$x - 3 \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Aggiungi $3$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 3$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[3, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ è l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ è il dominio di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{5} \cdot {(x - 2)}^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{5 (x - 3)} + 2, - \sqrt{5 (x - 3)} + 2$

Passaggio 6