Algebra Esempi

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 5^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 5, 5 - x, (x + 5) (x - 5)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 5$ è $x + 5$ stesso.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $5 - x$ è $5 - x$ stesso.

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 5$ è $x + 5$ stesso.

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $x - 5$ è $x - 5$ stesso.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $x + 5, 5 - x, x + 5, x - 5$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 5) (5 - x) (x - 5)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ ciascun termine in $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)}$ per $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $x + 5$ da $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x + 5} ((x + 5) ((5 - x) (x - 5))) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$(5 - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$(- 1 (- 5) - x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$(- 1 (- 5) - (x)) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 5) - (x)$ .

$- 1 (- 5 + x) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.5

Riordina i termini.

$- 1 (x - 5) (x - 5) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.6

Eleva $x - 5$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5)) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.7

Eleva $x - 5$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}) + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 1} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.9

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.10

Riscrivi $- 1 {(x - 5)}^{2}$ come $- {(x - 5)}^{2}$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((x + 5) (5 - x) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.11

Elimina il fattore comune di $5 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.11.1

Scomponi $5 - x$ da $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.11.2

Elimina il fattore comune.

$- {(x - 5)}^{2} + \frac{x}{5 - x} ((5 - x) ((x + 5) (x - 5))) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- {(x - 5)}^{2} + x ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.12

Espandi $(x + 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x (x - 5) + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.13

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.13.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 5$ e $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.13.2

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.13.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x \cdot x + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.14.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} + 5 \cdot - 5) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.14.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x (x^{2} - 25) = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.15

Applica la proprietà distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.16

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.16.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.16.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1} x^{2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.16.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{1 + 2} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.16.2

Somma $1$ e $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} + x \cdot - 25 = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.2.1.17

Sposta $- 25$ alla sinistra di $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (5 - x) (x - 5))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $(x + 5) (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Scomponi $(x + 5) (x - 5)$ da $(x + 5) (5 - x) (x - 5)$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = \frac{2 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5) (5 - x))$

Passaggio 3.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x (5 - x)$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 2 x \cdot 5 + 2 x (- x)$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 x (- x)$

Passaggio 3.3.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x \cdot x$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x + 2 \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x = 10 x - 2 x^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $10 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x = - 2 x^{2}$

Passaggio 4.1.2

Somma $2 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- {(x - 5)}^{2} + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Riscrivi ${(x - 5)}^{2}$ come $(x - 5) (x - 5)$ .

$- ((x - 5) (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.2

Espandi $(x - 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.3.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$- (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$- (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sottrai $5 x$ da $- 5 x$ .

$- (x^{2} - 10 x + 25) + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$- x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.4

Combina i termini opposti in $- x^{2} + 10 x - 25 + x^{3} - 25 x - 10 x + 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Sottrai $10 x$ da $10 x$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 0 + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x$ e $0$ .

$- x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x + 2 x^{2} = 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 25 + x^{3} - 25 x = 0$

Passaggio 4.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riordina i termini.

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25 = 0$

Passaggio 4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} + x^{2}) - 25 x - 25 = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x + 1) - 25 (x + 1) = 0$

Passaggio 4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - 25) = 0$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Passaggio 4.2.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x + 1) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 4.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 4.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4.5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 4.6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x + 5) (x - 5) = 0$ vera.

$x = - 1, - 5, 5$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{1}{x + 5} + \frac{x}{5 - x} = \frac{2 x}{x^{2} - 25}$ vera.

$x = - 1$