Algebra Esempi

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \tan (a)$ e $b = \sin (a)$ .

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\tan (a)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $\sin (a)$ da $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $\sin (a)$ da $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $\sin (a)$ da $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\tan (a)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $\sin (a)$ da $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $\sin (a)$ da $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $\sin (a)$ da $- \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $\sin (a)$ da $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.5

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 1.2.5.1

Eleva $\sin (a)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.5.2

Eleva $\sin (a)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 1.2.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\tan (a)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

Passaggio 3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (a)$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $\sin^{2} (a)$ da $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ .

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune.

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'espressione.

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 5

Espandi $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ .

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Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (a)}$ per $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.1.2

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.1.3

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.2

$\frac{1}{\cos (a)}$ e $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $\frac{1}{\cos (a)}$ per $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.2

Somma $- \frac{1}{\cos (a)}$ e $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 6.3

Somma $\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ e $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (a)$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

Passaggio 7.3

Riscrivi $- 1 \cos^{2} (a)$ come $- \cos^{2} (a)$ .

$1 - \cos^{2} (a)$

Passaggio 8

Applica l'identità pitagorica.

$\sin^{2} (a)$