Algebra Esempi

$2 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$2 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.1.5

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$(1 - i \sqrt{3}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$(1 \cdot 4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})$

Passaggio 1.3.3

$i$ e $\frac{1}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Passaggio 2

Espandi $(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}) - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (2) \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 4 i \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \sqrt{3} \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.5

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.8

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.8.5

Calcola l'esponente.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3 - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.9

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.10.1

Scomponi $2$ da $- 4 i \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

Passaggio 3.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i \sqrt{3} i$

Passaggio 3.1.11

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i) \sqrt{3}$

Passaggio 3.1.12

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3}$

Passaggio 3.1.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{1 + 1} \sqrt{3}$

Passaggio 3.1.14

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{2} \sqrt{3}$

Passaggio 3.1.15

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 \cdot - 1 \sqrt{3}$

Passaggio 3.1.16

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 3.2

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$2 i - 6 i + 4 \sqrt{3}$

Passaggio 3.3

Sottrai $6 i$ da $2 i$ .

$- 4 i + 4 \sqrt{3}$

Passaggio 4

Riordina $- 4 i$ e $4 \sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3} - 4 i$