Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ come un'equazione.

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni lato per $1 + e^{- y}$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $x (1 + e^{- y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x e^{- y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $e^{- y}$ da $- e^{- y} - x e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $e^{- y}$ da $- e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $e^{- y}$ da $- x e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $e^{- y}$ da $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ .

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- 1 - x$ ciascun termine in $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- 1 - x$ ciascun termine in $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ .

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $e^{- y}$ per $1$ .

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Passaggio 3.4.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Passaggio 3.4.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (x)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Passaggio 3.4.4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Passaggio 3.4.5

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.6

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Espandi $\ln (e^{- y})$ spostando $- y$ fuori dal logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.6.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.7

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Semplifica $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.1

Dividi la frazione $\frac{x - 1}{1 + x}$ in due frazioni.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

Passaggio 3.4.7.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

Passaggio 3.4.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.7.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{1 + x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.7.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + x}$ per $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.8

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Passaggio 3.4.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Passaggio 3.4.8.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Passaggio 3.4.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.8.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Passaggio 3.4.8.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ come $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ .

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $- - e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.4.3.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.4.4

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.4.5

Somma $0$ e $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.4.6

Somma $e^{- x}$ e $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.6.3

Riscrivi $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.6.3.2

Sottrai $e^{- x}$ da $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.6.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Scomponi $2$ da $2 e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Passaggio 5.2.9.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Passaggio 5.2.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $1 + e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Passaggio 5.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

Passaggio 5.2.11

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $- x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

Passaggio 5.2.12

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

Passaggio 5.2.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Moltiplica $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ per $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.6

Riordina i termini.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.7

Riscrivi $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.7.2

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.7.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.7.4

Somma $x$ e $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.7.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.3.7.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.4.2

Moltiplica $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Moltiplica $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ per $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Passaggio 5.3.4.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Passaggio 5.3.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

Passaggio 5.3.4.6

Riordina i termini.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.7

Riscrivi $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.7.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.7.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.7.3

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Passaggio 5.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$