Algebra Esempi

$(\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}) (\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 1

Moltiplica $(\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}) (\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3})$ .

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Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{6} - i \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{\sqrt{6} + i \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 2

Espandi $(\sqrt{6} - i \sqrt{3}) (\sqrt{6} + i \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (\sqrt{6} + i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{6 + \sqrt{6} (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $\sqrt{6} (i \sqrt{3})$ .

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Passaggio 3.1.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 + \sqrt{3 \cdot 6} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.5.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{6 + \sqrt{18} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.6

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 3.1.6.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{6 + \sqrt{9 (2)} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{3^{2} \cdot 2} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{3} \sqrt{6} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica $- i \sqrt{3} \sqrt{6}$ .

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Passaggio 3.1.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{6 \cdot 3} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.8.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{18} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.9

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 3.1.9.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{9 (2)} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.9.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i \sqrt{3^{2} \cdot 2} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - i (3 \sqrt{2}) - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.11

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.12

Moltiplica $- i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Passaggio 3.1.12.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 3.1.12.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 3.1.12.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 3.1.12.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 3.1.12.5

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{9}$

Passaggio 3.1.12.6

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{9}$

Passaggio 3.1.12.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{9}$

Passaggio 3.1.12.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.13

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} - - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 1 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.15

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.16

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 3.1.16.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.16.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Passaggio 3.1.16.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Passaggio 3.1.16.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.1.16.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Passaggio 3.1.16.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3^{1}}{9}$

Passaggio 3.1.16.5

Calcola l'esponente.

$\frac{6 + 3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 3}{9}$

Passaggio 3.2

Somma $6$ e $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} i - 3 i \sqrt{2} + 9}{9}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori di $3 \sqrt{2} i$ .

$\frac{3 i \sqrt{2} - 3 i \sqrt{2} + 9}{9}$

Passaggio 3.4

Sottrai $3 i \sqrt{2}$ da $3 i \sqrt{2}$ .

$\frac{0 + 9}{9}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $9$ .

$\frac{9}{9}$

Passaggio 4

Dividi $9$ per $9$ .

$1$