Algebra Esempi

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{x}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 1) (x + 2) (x - 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{x}{x - 1}$ per $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{(x + 2) (x - 2)}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 1) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2) (x - 1)}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $(x + 2) (x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)} + \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Espandi $(x + 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Passaggio 6.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\frac{x (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot - 2) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{x (x^{2} - 4) + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 6.5.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot - 4 + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 \cdot x + x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$

Passaggio 6.7

Somma $- 4 x$ e $x$ .

$\frac{x^{3} - 3 x - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 2)}$