Algebra Esempi

$f (x) = 64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ ?

Passaggio 1

Scomponi $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 125, \pm 1.953125, \pm 62.5, \pm 3.90625, \pm 31.25, \pm 7.8125, \pm 15.625, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625, \pm 25, \pm 0.390625, \pm 12.5, \pm 0.78125, \pm 6.25, \pm 1.5625, \pm 3.125$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1.25$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1.25$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1.25$ nel polinomio.

$64 \cdot {1.25}^{3} - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1.25$ alla potenza di $3$ .

$64 \cdot 1.953125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $64$ per $1.953125$ .

$125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

Passaggio 1.3.4

Eleva $1.25$ alla potenza di $2$ .

$125 - 240 \cdot 1.5625 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 240$ per $1.5625$ .

$125 - 375 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $375$ da $125$ .

$- 250 + 300 \cdot 1.25 - 125$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $300$ per $1.25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 250$ e $375$ .

$125 - 125$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $125$ da $125$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1.25$ è una radice nota, dividi il polinomio per $4 x - 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125}{4 x - 5}$

Passaggio 1.5

Dividi $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ per $4 x - 5$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x$

$5$

$64 x^{3}$

$240 x^{2}$

$300 x$

$125$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $64 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

					$16 x^{2}$
	$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			+	$64 x^{3}$	-	$80 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $64 x^{3} - 80 x^{2}$

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 160 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					-	$160 x^{2}$	+	$200 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 160 x^{2} + 200 x$

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $100 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x$ .

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							+	$100 x$	-	$125$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $100 x - 125$

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$16 x^{2} - 40 x + 25$

Passaggio 1.6

Scrivi $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ come insieme di fattori.

$f (x) = (4 x - 5) (16 x^{2} - 40 x + 25)$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 25)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 5^{2})$

Passaggio 2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$40 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 5$

Passaggio 2.4

Riscrivi il polinomio.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 5 + 5^{2})$

Passaggio 2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = 4 x$ e $b = 5$ .

$f (x) = (4 x - 5) {(4 x - 5)}^{2}$

Passaggio 3

Combina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{1 + 2}$

Passaggio 3.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (x) = {(4 x - 5)}^{3}$