Algebra Esempi

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$

Passaggio 1

La funzione genitore è la forma più semplice del tipo di funzione data.

$g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Passaggio 2

Si può trovare la trasformazione dalla prima alla seconda equazione determinando $a$ , $h$ e $k$ per ogni equazione.

$y = a b^{x - h} + k$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x + 2 \cdot - 3} + 1$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 x - 6} + 1$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + 1$

Passaggio 3.1.2

Riduci in una frazione.

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Passaggio 3.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (x) = - \frac{4^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}} + \frac{3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Passaggio 3.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + 3^{2 x - 6}}{3^{2 x - 6}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $3^{2 x - 6}$ come ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- 4^{2 x - 6} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $4^{2 x - 6}$ come ${(4^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{- {(4^{x - 3})}^{2} + {(3^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Passaggio 3.2.3

Riordina $- {(4^{x - 3})}^{2}$ e ${(3^{x - 3})}^{2}$ .

$f (x) = \frac{{(3^{x - 3})}^{2} - {(4^{x - 3})}^{2}}{3^{2 x - 6}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3^{x - 3}$ e $b = 4^{x - 3}$ .

$f (x) = \frac{(3^{x - 3} + 4^{x - 3}) (3^{x - 3} - 4^{x - 3})}{3^{2 x - 6}}$

Passaggio 4

Trova $a$ , $h$ e $k$ per $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 5

Trova $a$ , $h$ e $k$ per $f (x) = - {(\frac{4}{3})}^{2 (x - 3)} + 1$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 1$

Passaggio 6

La traslazione orizzontale dipende dal valore di $h$ . La traslazione orizzontale è descritta come:

$f (x) = f (x + h)$ - Il grafico è traslato a sinistra di $h$ unità.

$f (x) = f (x - h)$ - Il grafico è traslato a destra di $h$ unità.

Traslazione orizzontale: $3$ unità a destra

Passaggio 7

La traslazione verticale dipende dal valore di $k$ . La traslazione verticale è descritta come:

$f (x) = f (x) + k$ - Il grafico è traslato verso l'alto di $k$ unità.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Traslazione verticale: verso l'alto di $1$ unità

Passaggio 8

Il segno di $a$ descrive la riflessione sull'asse x. $- a$ significa che il grafico si riflette sull'asse x.

Riflessione sull'asse x: riflessa

Passaggio 9

Il valore di $a$ descrive la dilatazione o la compressione verticale del grafico.

$a > 1$ è una dilatazione verticale (lo rende più stretto)

$0 < a < 1$ è una compressione verticale (lo rende più ampio)

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 10

Per trovare la trasformazione, confronta le due funzioni e verifica se sono presenti una traslazione orizzontale o verticale (una simmetria rispetto all'asse x) e una dilatazione verticale.

Funzione base: $g (x) = {(\frac{4}{3})}^{x}$

Traslazione orizzontale: $3$ unità a destra

Traslazione verticale: verso l'alto di $1$ unità

Riflessione sull'asse x: riflessa

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 11