Algebra Esempi

$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$

Passaggio 1

Espandi $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$1 + \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.10

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.11

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $3$ per $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.1

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Passaggio 2.1.13.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Passaggio 2.1.13.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.1.13.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}$

Passaggio 2.1.14

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.14.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.1.14.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.14.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.14.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.14.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{1}$

Passaggio 2.1.14.5

Calcola l'esponente.

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 1 \cdot 3$

Passaggio 2.1.15

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$3 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

Passaggio 2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$0 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.3

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.4

Somma $- \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{2} + 0 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.5

Somma $2 \sqrt{2}$ e $0$ .

$2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

Passaggio 2.2.6

Somma $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

$2 \sqrt{2} + 0$

Passaggio 2.2.7

Somma $2 \sqrt{2}$ e $0$ .

$2 \sqrt{2}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \sqrt{2}$

Forma decimale:

$2.82842712 \dots$