Algebra Esempi

$x^{2} + (y - {(\frac{4}{x})}^{2}) \cdot 2 = 1$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y - \frac{32}{x^{2}} = 1 - x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Somma $\frac{32}{x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = 1 - x^{2} + \frac{32}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\frac{32}{x^{2}}}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Combina.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{32 \cdot 1}{x^{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $32 \cdot 1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{x^{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (16 \cdot 1)}{2 \cdot x^{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Moltiplica $16$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova dove l'espressione $\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Combina.

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Passaggio 6.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} + \frac{16}{x^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Per scrivere $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}}$

Passaggio 6.1.4

Per scrivere $\frac{16}{x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{2} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.1.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.1.5.1

Moltiplica $\frac{(1 + x) (1 - x)}{2}$ per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.1.5.2

Moltiplica $\frac{16}{x^{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{x^{2} \cdot 2}$

Passaggio 6.1.5.3

Riordina i fattori di $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 + x) (1 - x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.7.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(1 - x + x + x (- x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(1 - x + x - x \cdot x) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{(1 - x + x - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{(1 + 0 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(1 - x^{2}) x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x^{2} x^{2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - (x^{2} x^{2}) + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} - x^{2 + 2} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 16 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.6

Moltiplica $16$ per $2$ .

$\frac{x^{2} - x^{4} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.7.7

Riordina i termini.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.8

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.8.2

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.8.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.8.4

Riscrivi $32$ come $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.8.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.8.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.8.6.1

Riscrivi $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ come $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.8.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.1.9

Semplifica.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$\frac{- (x^{4}) + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$\frac{- (x^{4}) - 1 (- x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi $32$ come $- 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4} - x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Riscrivi $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ come $- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

$\frac{- 1 (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.3

Espandi $- (x^{4} - x^{2} - 32)$ .

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Passaggio 6.3.1

Nega $x^{4} - x^{2} - 32$ .

$\frac{- (x^{4} - x^{2} - 32)}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (x^{4} - x^{2}) + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.3.4

Sposta le parentesi.

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- x^{4} + 1 x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.3.6

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 32$ .

$\frac{- x^{4} + x^{2} + 32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Passaggio 6.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Passaggio 6.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Passaggio 6.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{4} + 0 + 0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

Passaggio 6.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Passaggio 6.9

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Passaggio 6.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

Passaggio 6.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 6.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

Passaggio 6.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{x^{2}}{2}$

$0 x$

$\frac{1}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$32$

$x^{2}$

$0$

$32$

Passaggio 6.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{32}{2 x^{2}}$

Passaggio 6.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 8