Algebra Esempi

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

Passaggio 1

Imposta $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ uguale a $0$ .

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $r$ da $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $r$ da $r^{5}$ .

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $r$ da $- 7 r^{3}$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $r$ da $- 8 r$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.2.4

Scomponi $r$ da $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.2.5

Scomponi $r$ da $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $r^{4}$ come ${(r^{2})}^{2}$ .

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = r^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $r^{2}$ con $u$ .

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $u^{2} - 7 u - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 8, 1$

Passaggio 2.1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r^{2}$ .

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.7

Riscrivi $r^{4}$ come ${(r^{2})}^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Passaggio 2.1.8

Sia $u = r^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $r^{2}$ con $u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Passaggio 2.1.9

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ e la cui somma è $b = - 43$ .

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Passaggio 2.1.9.1.1

Scomponi $- 43$ da $- 43 u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Passaggio 2.1.9.1.2

Riscrivi $- 43$ come $5$ più $- 48$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

Passaggio 2.1.9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.9.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Passaggio 2.1.9.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

Passaggio 2.1.9.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $u + 1$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

Passaggio 2.1.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi $r^{2} + 1$ da $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

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Passaggio 2.1.11.1

Scomponi $r^{2} + 1$ da $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Scomponi $r^{2} + 1$ da $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.12

Applica la proprietà distributiva.

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $r$ per $r^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.13.1

Moltiplica $r$ per $r^{2}$ .

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Passaggio 2.1.13.1.1

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.13.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.13.2

Somma $1$ e $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.14

Sposta $- 8$ alla sinistra di $r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

Passaggio 2.1.15

Riordina i termini.

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

Passaggio 2.1.16

Scomponi.

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Passaggio 2.1.16.1

Riscrivi $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1.1

Scomponi $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.16.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.16.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Passaggio 2.1.16.1.1.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.16.1.1.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Passaggio 2.1.16.1.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Passaggio 2.1.16.1.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Passaggio 2.1.16.1.1.3.4

Moltiplica $5$ per $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Passaggio 2.1.16.1.1.3.5

Somma $27$ e $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Passaggio 2.1.16.1.1.3.6

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$72 - 24 - 48$

Passaggio 2.1.16.1.1.3.7

Sottrai $24$ da $72$ .

$48 - 48$

Passaggio 2.1.16.1.1.3.8

Sottrai $48$ da $48$ .

$0$

Passaggio 2.1.16.1.1.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $r - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

Passaggio 2.1.16.1.1.5

Dividi $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ per $r - 3$ .

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Passaggio 2.1.16.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $r^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $r^{3} - 3 r^{2}$

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $8 r^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $8 r^{2} - 24 r$

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 r$ per il termine di ordine più alto nel divisore $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 r - 48$

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

Passaggio 2.1.16.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$r^{2} + 8 r + 16$

Passaggio 2.1.16.1.1.6

Scrivi $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ come insieme di fattori.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

Passaggio 2.1.16.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.16.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

Passaggio 2.1.16.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.16.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = r$ e $b = 4$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.16.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $r^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $r^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $r^{2} + 1 = 0$ per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} = - 1$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$r = \pm i$

Passaggio 2.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = i$

Passaggio 2.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - i$

Passaggio 2.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = i, - i$

Passaggio 2.4

Imposta $r - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $r - 3$ uguale a $0$ .

$r - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r = 3$

Passaggio 2.5

Imposta ${(r + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(r + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(r + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(r + 4)}^{2} = 0$ per $r$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Poni $r + 4$ uguale a $0$ .

$r + 4 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = - 4$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ vera.

$r = i, - i, 3, - 4$

Passaggio 3