Algebra Esempi

$2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x - 4})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 4}$ come ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x - 4)}^{1} = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x - 4) = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot - 4 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$4 x - 16 = {(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(- \sqrt{x - 1} + 4)}^{2}$ come $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ .

$4 x - 16 = (- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(- \sqrt{x - 1} + 4) (- \sqrt{x - 1} + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1} + 4) + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1} + 4)$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x - 16 = - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 x - 16 = 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.2

Moltiplica $\sqrt{x - 1}$ per $1$ .

$4 x - 16 = \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.3

Eleva $\sqrt{x - 1}$ alla potenza di $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.4

Eleva $\sqrt{x - 1}$ alla potenza di $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$4 x - 16 = {\sqrt{x - 1}}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ come $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x - 16 = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x - 16 = {(x - 1)}^{1} - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.2.5

Semplifica.

$4 x - 16 = x - 1 - \sqrt{x - 1} \cdot 4 + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4 (- \sqrt{x - 1}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Moltiplica $4$ per $4$ .

$4 x - 16 = x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1} + 16$

Passaggio 2.3.1.3.2

Somma $- 1$ e $16$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 4 \sqrt{x - 1} - 4 \sqrt{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.3.3

Sottrai $4 \sqrt{x - 1}$ da $- 4 \sqrt{x - 1}$ .

$4 x - 16 = x + 15 - 8 \sqrt{x - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $- 8 \sqrt{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$ .

$x + 15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $- 8 \sqrt{x - 1}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$15 - 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 \sqrt{x - 1} = 4 x - 16 - x - 15$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $x$ da $4 x$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 16 - 15$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $15$ da $- 16$ .

$- 8 \sqrt{x - 1} = 3 x - 31$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- 8 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 8 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 8)}^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$64 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$64 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$64 {(x - 1)}^{1} = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica.

$64 (x - 1) = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$64 x + 64 \cdot - 1 = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$64 x - 64 = {(3 x - 31)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(3 x - 31)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(3 x - 31)}^{2}$ come $(3 x - 31) (3 x - 31)$ .

$64 x - 64 = (3 x - 31) (3 x - 31)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(3 x - 31) (3 x - 31)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x - 31) - 31 (3 x - 31)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x - 31)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$64 x - 64 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$64 x - 64 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 31 - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 31$ per $3$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 31 (3 x) - 31 \cdot - 31$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x - 31 \cdot - 31$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 31$ per $- 31$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 93 x - 93 x + 961$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $93 x$ da $- 93 x$ .

$64 x - 64 = 9 x^{2} - 186 x + 961$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 x^{2} - 186 x + 961 = 64 x - 64$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $64 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 186 x + 961 - 64 x = - 64$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $64 x$ da $- 186 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 961 = - 64$

Passaggio 6.3

Somma $64$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 250 x + 961 + 64 = 0$

Passaggio 6.4

Somma $961$ e $64$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 1025 = 9225$ e la cui somma è $b = - 250$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Scomponi $- 250$ da $- 250 x$ .

$9 x^{2} - 250 x + 1025 = 0$

Passaggio 6.5.1.2

Riscrivi $- 250$ come $- 45$ più $- 205$ .

$9 x^{2} + (- 45 - 205) x + 1025 = 0$

Passaggio 6.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} - 45 x - 205 x + 1025 = 0$

Passaggio 6.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 x^{2} - 45 x) - 205 x + 1025 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$9 x (x - 5) - 205 (x - 5) = 0$

Passaggio 6.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 5$ .

$(x - 5) (9 x - 205) = 0$

Passaggio 6.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$9 x - 205 = 0$

Passaggio 6.7

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.7.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 6.8

Imposta $9 x - 205$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Imposta $9 x - 205$ uguale a $0$ .

$9 x - 205 = 0$

Passaggio 6.8.2

Risolvi $9 x - 205 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Somma $205$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = 205$

Passaggio 6.8.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 205$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 205$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Passaggio 6.8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{205}{9}$

Passaggio 6.8.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{205}{9}$

Passaggio 6.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (9 x - 205) = 0$ vera.

$x = 5, \frac{205}{9}$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \sqrt{x - 4} = - \sqrt{x - 1} + 4$ vera.

$x = 5$