Algebra Esempi

$4 y^{2} + x = 56 y - 194$

Passaggio 1

Sottrai $4 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 56 y - 194 - 4 y^{2}$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica $56 y - 194 - 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Sposta $- 194$ .

$x = 56 y - 4 y^{2} - 194$

Passaggio 2.1.1.2

Riordina $56 y$ e $- 4 y^{2}$ .

$x = - 4 y^{2} + 56 y - 194$

Passaggio 2.1.2

Completa il quadrato per $- 4 y^{2} + 56 y - 194$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = 56$

$c = - 194$

Passaggio 2.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{56}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $56$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $56$ .

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 2.1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 (- 4)}$

Passaggio 2.1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 28}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 2.1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{28}{- 4}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $28$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$d = \frac{4 (7)}{- 4}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{7}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 7$

Passaggio 2.1.2.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$d = - 7$

Passaggio 2.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 194 - \frac{56^{2}}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.1

Eleva $56$ alla potenza di $2$ .

$e = - 194 - \frac{3136}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$e = - 194 - \frac{3136}{- 16}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.3

Dividi $3136$ per $- 16$ .

$e = - 194 - - 196$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 196$ .

$e = - 194 + 196$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

Somma $- 194$ e $196$ .

$e = 2$

Passaggio 2.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$ .

$- 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

Passaggio 2.1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - 4 {(y - 7)}^{2} + 2$

Passaggio 2.2

Usa la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 4$

$h = 2$

$k = 7$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(2, 7)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Passaggio 2.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{16}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{31}{16}, 7)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 7$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{33}{16}$

Passaggio 2.9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a sinistra

Vertice: $(2, 7)$

Fuoco: $(\frac{31}{16}, 7)$

Asse di simmetria: $y = 7$

Direttrice: $x = \frac{33}{16}$

Direzione: si apre a sinistra

Vertice: $(2, 7)$

Fuoco: $(\frac{31}{16}, 7)$

Asse di simmetria: $y = 7$

Direttrice: $x = \frac{33}{16}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(0, 7.70710678)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{0 + 2}}{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{14 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.1.3

Converti $\frac{14 + \sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= 7.70710678$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(0, 6.29289321)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{- (0) + 2}}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{0 + 2}}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

La risposta finale è $\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{14 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2.3

Converti $\frac{14 - \sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= 6.29289321$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \frac{14 + \sqrt{- x + 2}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(1, 7.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (1) = \frac{14 + \sqrt{1}}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = \frac{14 + 1}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Somma $14$ e $1$ .

$f (1) = \frac{15}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

La risposta finale è $\frac{15}{2}$ .

$y = \frac{15}{2}$

Passaggio 3.3.3

Converti $\frac{15}{2}$ in decimale.

$= 7.5$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \frac{14 - \sqrt{- x + 2}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(1, 6.5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- (1) + 2}}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{- 1 + 2}}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (1) = \frac{14 - \sqrt{1}}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = \frac{14 - 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \frac{14 - 1}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.5

Sottrai $1$ da $14$ .

$f (1) = \frac{13}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

La risposta finale è $\frac{13}{2}$ .

$y = \frac{13}{2}$

Passaggio 3.4.3

Converti $\frac{13}{2}$ in decimale.

$= 6.5$

Passaggio 3.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a sinistra

Vertice: $(2, 7)$

Fuoco: $(\frac{31}{16}, 7)$

Asse di simmetria: $y = 7$

Direttrice: $x = \frac{33}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 7.71 \\ 0 & 6.29 \\ 1 & 7.5 \\ 1 & 6.5 \\ 2 & 7 \end{array}$

Passaggio 5