Algebra Esempi

$3 x - y^{2} = 4 x + 25$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x - y^{2} - 4 x = 25$

Passaggio 1.2

Sottrai $4 x$ da $3 x$ .

$- y^{2} - x = 25$

Passaggio 2

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x = 25 + y^{2}$

Passaggio 3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 25 + y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = 25 + y^{2}$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Passaggio 3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi $25$ per $- 1$ .

$x = - 25 + \frac{y^{2}}{- 1}$

Passaggio 3.3.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 25 - 1 \cdot y^{2}$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi $- 1 \cdot y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$x = - 25 - y^{2}$

Passaggio 4

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riordina $- 25$ e $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} - 25$

Passaggio 4.1.2

Completa il quadrato per $- y^{2} - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = - 25$

Passaggio 4.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 4.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 4.1.2.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 4.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = - 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = - 25 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.1.2.4.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = - 25 - 0$

Passaggio 4.1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = - 25 + 0$

Passaggio 4.1.2.4.2.2

Somma $- 25$ e $0$ .

$e = - 25$

Passaggio 4.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(y + 0)}^{2} - 25$ .

$- {(y + 0)}^{2} - 25$

Passaggio 4.1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - {(y + 0)}^{2} - 25$

Passaggio 4.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - 25$

$k = 0$

Passaggio 4.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 4.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 25, 0)$

Passaggio 4.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 4.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 4.5.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 4.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 4.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 4.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{101}{4}, 0)$

Passaggio 4.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 0$

Passaggio 4.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 4.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 4.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{99}{4}$

Passaggio 4.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 25, 0)$

Fuoco: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = - \frac{99}{4}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 25, 0)$

Fuoco: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = - \frac{99}{4}$

Passaggio 5

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 5.1

Sostituisci il valore $- 27$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ . In questo caso, il punto è $(- 27, 1.41421356)$ .

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Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 27$ nell'espressione.

$f (- 27) = \sqrt{- (- 27) - 25}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$f (- 27) = \sqrt{27 - 25}$

Passaggio 5.1.2.2

Sottrai $25$ da $27$ .

$f (- 27) = \sqrt{2}$

Passaggio 5.1.2.3

La risposta finale è $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Passaggio 5.1.3

Converti $\sqrt{2}$ in decimale.

$= 1.41421356$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore $- 27$ di $x$ in $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ . In questo caso, il punto è $(- 27, - 1.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 27$ nell'espressione.

$f (- 27) = - \sqrt{- (- 27) - 25}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{27 - 25}$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $25$ da $27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.2.3

La risposta finale è $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.2.3

Converti $- \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 1.41421356$

Passaggio 5.3

Sostituisci il valore $- 26$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ . In questo caso, il punto è $(- 26, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 26$ nell'espressione.

$f (- 26) = \sqrt{- (- 26) - 25}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 26$ .

$f (- 26) = \sqrt{26 - 25}$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $25$ da $26$ .

$f (- 26) = \sqrt{1}$

Passaggio 5.3.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 26) = 1$

Passaggio 5.3.2.4

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 5.3.3

Converti $1$ in decimale.

$= 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il valore $- 26$ di $x$ in $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ . In questo caso, il punto è $(- 26, - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 26$ nell'espressione.

$f (- 26) = - \sqrt{- (- 26) - 25}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{26 - 25}$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $25$ da $26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{1}$

Passaggio 5.4.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 26) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- 26) = - 1$

Passaggio 5.4.2.5

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 5.4.3

Converti $- 1$ in decimale.

$= - 1$

Passaggio 5.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Passaggio 6

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(- 25, 0)$

Fuoco: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Asse di simmetria: $y = 0$

Direttrice: $x = - \frac{99}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Passaggio 7