Algebra Esempi

$f (x) = {(x - 2)}^{2} (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica il polinomio, quindi riordinalo da sinistra a destra iniziando dal termine di grado maggiore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$f (x) = (x - 2) (x - 2) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x) = (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (x) = (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f (x) = (x^{2} - 4 x + 4) (x + 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.4

Espandi $(x^{2} - 4 x + 4) (x + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = (x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (x) = (x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 3 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = (x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x \cdot 3 + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f (x) = (x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 4 \cdot 3) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.1.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f (x) = (x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{2} - 12 x + 4 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Sottrai $4 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 12 x + 4 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $- 12 x$ e $4 x$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) ((x + 1) (x + 1))$

Passaggio 1.6

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.7.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.7.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x^{2} + x + x + 1)$

Passaggio 1.7.2

Somma $x$ e $x$ .

$f (x) = (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x^{2} + 2 x + 1)$

Passaggio 1.8

Espandi $(x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) (x^{2} + 2 x + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f (x) = x^{3} x^{2} + x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{3 + 2} + x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.1.2

Somma $3$ e $2$ .

$f (x) = x^{5} + x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = x^{5} + 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.3

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.3.1

Sposta $x$ .

$f (x) = x^{5} + 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{5} + 2 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.3.3

Somma $1$ e $3$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} \cdot 1 - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.4

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{2} x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - (x^{2} x^{2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{2 + 2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.7.1

Sposta $x$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.7.3

Somma $1$ e $2$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 1 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.10

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.10.1

Sposta $x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 (x^{2} x) - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.10.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 (x^{2} x) - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{2 + 1} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 8 x (2 x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.11

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 8 \cdot (2 x \cdot x) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.12

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.12.1

Sposta $x$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 8 \cdot (2 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.12.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 8 \cdot (2 x^{2}) - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.13

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 8 x \cdot 1 + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.14

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} + 12 (2 x) + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.15

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} + 24 x + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.9.1.16

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f (x) = x^{5} + 2 x^{4} + x^{3} - x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} + 24 x + 12$

Passaggio 1.9.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.1

Sottrai $x^{4}$ da $2 x^{4}$ .

$f (x) = x^{5} + x^{4} + x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} + 24 x + 12$

Passaggio 1.9.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + x^{4} - x^{3} - x^{2} - 8 x^{3} - 16 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} + 24 x + 12$

Passaggio 1.9.2.3

Sottrai $8 x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$f (x) = x^{5} + x^{4} - 9 x^{3} - x^{2} - 16 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} + 24 x + 12$

Passaggio 1.9.2.4

Sottrai $16 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + x^{4} - 9 x^{3} - 17 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} + 24 x + 12$

Passaggio 1.9.2.5

Somma $- 17 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$f (x) = x^{5} + x^{4} - 9 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 24 x + 12$

Passaggio 1.9.2.6

Somma $- 8 x$ e $24 x$ .

$f (x) = x^{5} + x^{4} - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 16 x + 12$

Passaggio 2

Il grado di un polinomio è il grado maggiore dei suoi termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Identifica gli esponenti sulle variabili in ogni termine e sommali per trovare il grado di ogni termine.

$x^{5} \to 5$

$x^{4} \to 4$

$- 9 x^{3} \to 3$

$- 5 x^{2} \to 2$

$16 x \to 1$

$12 \to 0$

Passaggio 2.2

L'esponente maggiore è il grado del polinomio.

$5$

Passaggio 3

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$x^{5}$

Passaggio 4

Il coefficiente direttivo di un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$x^{5}$

Passaggio 4.2

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$1$

Passaggio 5

Elenca i risultati.

Grado del polinomio: $5$

Termine con l'esponente maggiore: $x^{5}$

Coefficiente direttivo: $1$