Algebra Esempi

$2 x - 2 y = x^{2} + 9$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$

Passaggio 1.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.1.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + x$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sposta $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$

Passaggio 2.1.2

Completa il quadrato per $- \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{9}{2}$

Passaggio 2.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.2.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2.3

Dividi $2$ per $2$ .

$d = - \frac{1}{1}$

Passaggio 2.1.2.3.2.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$d = - \frac{1}{1}$

Passaggio 2.1.2.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$d = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 2.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $2$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{9}{2} - - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.5

Moltiplica $- - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - \frac{9}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$e = - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 9 + 1}{2}$

Passaggio 2.1.2.4.2.3

Somma $- 9$ e $1$ .

$e = \frac{- 8}{2}$

Passaggio 2.1.2.4.2.4

Dividi $- 8$ per $2$ .

$e = - 4$

Passaggio 2.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$

Passaggio 2.1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Passaggio 2.2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.5.3.3

Dividi $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, - \frac{9}{2})$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 1$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{7}{2}$

Passaggio 2.9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - \frac{9}{2})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{7}{2}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - \frac{9}{2})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{7}{2}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 - 9}{2}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 10}{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Dividi $- 10$ per $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

Passaggio 3.2.3.3

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.5.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 9}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 - 9}{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 9}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Sottrai $9$ da $0$ .

$f (0) = \frac{- 9}{2}$

Passaggio 3.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (0) = - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.5.4

La risposta finale è $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.8.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} - 9}{2}$

Passaggio 3.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 - 9}{2}$

Passaggio 3.8.2.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 9 - 9}{2}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Sottrai $9$ da $- 9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 18}{2}$

Passaggio 3.8.3.2

Dividi $- 18$ per $2$ .

$f (3) = 3 - 9$

Passaggio 3.8.3.3

Sottrai $9$ da $3$ .

$f (3) = - 6$

Passaggio 3.8.4

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = 3$ è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.11.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} - 9}{2}$

Passaggio 3.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{2}$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 4 - 9}{2}$

Passaggio 3.11.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

Sottrai $9$ da $- 4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 13}{2}$

Passaggio 3.11.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = 2 - \frac{13}{2}$

Passaggio 3.11.4

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Passaggio 3.11.5

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Passaggio 3.11.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 - 13}{2}$

Passaggio 3.11.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.7.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 13}{2}$

Passaggio 3.11.7.2

Sottrai $13$ da $4$ .

$f (2) = \frac{- 9}{2}$

Passaggio 3.11.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.11.9

La risposta finale è $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(1, - 4)$

Fuoco: $(1, - \frac{9}{2})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Passaggio 5