Algebra Esempi

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $7$ da $7 y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 (y) + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $7$ come $1$ più $6$ .

$\frac{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.1.1.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{2 y^{2} + y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 y + 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1^{3}} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ per $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - (\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} \cdot \frac{y - 1}{y - 1}) - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ per $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3}{y - 1}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{3}{y - 1}$ per $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - (\frac{3}{y - 1} \cdot \frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\frac{3}{y - 1}$ per $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 2.5

Riordina i fattori di $(y^{2} + y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(2 y + 1) (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Espandi $(2 y + 1) (y + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y (y + 3) + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Sposta $y$ .

$\frac{2 (y \cdot y) + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.2.2

Somma $6 y$ e $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 \cdot 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 + 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.6

Espandi $(- 1 + 2 y) (y - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 (y - 1) + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.7.1.3

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.3.1

Sposta $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.7.1.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} - 2 y - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2 y$ da $- y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3 \cdot 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina i termini opposti in $2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y + 0}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5.1.2

Somma $2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y$ e $0$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5.2

Somma $2 y^{2}$ e $2 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5.3

Sottrai $3 y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5.4

Sottrai $3 y$ da $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 4 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5.5

Sottrai $3 y$ da $4 y$ .

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $y^{2} + y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 1}$