Algebra Esempi

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} = 2$

Passaggio 1.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}) = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 4

Moltiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Passaggio 4.1

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 4.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 6

Rimetti in ordine i termini.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 7

Applica l'identità pitagorica.

$1 = \cos (θ) \cdot 2$

Passaggio 8

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (θ)$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Passaggio 9

Riscrivi l'equazione come $2 \cos (θ) = 1$ .

$2 \cos (θ) = 1$

Passaggio 10

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 10.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (θ) = 1$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.1.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 12

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 13

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 14

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 14.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 14.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 14.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 14.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 14.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 15

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 15.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 15.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 15.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 15.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 16

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$