Algebra Esempi

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

Passaggio 1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 10$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 5, 2$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.3

$- 2$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Espandi $(x - 5) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $5 x$ da $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.6

Somma $- 3 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.7

Sottrai $2$ da $- 10$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 2.5.8

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.5.8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 2.5.8.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 4

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 4, - 3, 1$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ .

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Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 - x = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $6.\overline{285714}$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $- 10$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $12$ è maggiore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $- 1.6$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3$ o $1 < x \leq 4$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

Passaggio 15