Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 1.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Passaggio 1.2

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 1.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{array}]$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Passaggio 1.4

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 1.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 1.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Le posizioni pivot sono le posizioni con il termine principale $1$ in ogni riga. Le colonne pivot sono colonne con una posizione pivot.

Posizioni pivot: $a_{11}$ e $a_{22}$

Colonne pivot: $1$ e $2$

Passaggio 3

La base dello spazio delle colonne di una matrice si forma considerando le colonne pivot corrispondenti nella matrice originale. La dimensione di $Col (A)$ è il numero di vettori in una base di $Col (A)$ .

Base di $Col (A)$ : ${[\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]}$

Dimensione di $Col (A)$ : $2$

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