Esempi

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 6 b - 3 c \\ a - 2 b + c \\ a + 3 b + 5 c \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da

$ℝ^{3}$ a

$ℝ^{3}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per

$S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riordina

$x_{1} + y_{1} - 6 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Passaggio 6.2

Riordina

$x_{1} + y_{1} - 2 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Passaggio 6.3

Riordina

$x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

Passaggio 7

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 6 y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - 2 y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 3 y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

Passaggio 8

La proprietà additiva della trasformazione resta vera.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 9

Perché una trasformazione sia lineare, deve mantenere la moltiplicazione scalare.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Passaggio 10

Scomponi la

$p$ da ciascun elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica

$p$ per ogni elemento nella matrice.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Passaggio 10.2

Applica la trasformazione al vettore.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 6 (p b) - 3 (p c) \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Passaggio 10.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riordina

$(p a) - 6 (p b) - 3 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ (p a) - 2 (p b) + p c \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Passaggio 10.3.2

Riordina

$(p a) - 2 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ (p a) + 3 (p b) + 5 (p c) \end{array}]$

Passaggio 10.3.3

Riordina

$(p a) + 3 (p b) + 5 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 6 b p - 3 c p \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Passaggio 10.4

Scomponi ciascun elemento della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi l'elemento

$0, 0$ moltiplicando

$a p - 6 b p - 3 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ a p - 2 b p + c p \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.2

Scomponi l'elemento

$1, 0$ moltiplicando

$a p - 2 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ a p + 3 b p + 5 c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.3

Scomponi l'elemento

$2, 0$ moltiplicando

$a p + 3 b p + 5 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 6 b - 3 c) \\ p (a - 2 b + c) \\ p (a + 3 b + 5 c) \end{array}]$

Passaggio 11

In questa trasformazione, la seconda proprietà delle trasformazioni lineari viene conservata.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Passaggio 12

Affinché la trasformazione sia lineare, il vettore zero deve essere conservato.

$S (0) = 0$

Passaggio 13

Applica la trasformazione al vettore.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Passaggio 14

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riordina

$(0) - 6 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - 2 \cdot 0 + 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Passaggio 14.2

Riordina

$(0) - 2 \cdot 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 3 (0) + 5 (0) \end{array}]$

Passaggio 14.3

Riordina

$(0) + 3 (0) + 5 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 15

Il vettore zero è preservato nella trasformazione.

$S (0) = 0$

Passaggio 16

Poiché non sono soddisfatte tutte e tre le proprietà delle trasformazioni lineari, non si tratta di una trasformazione lineare.

Trasformazione lineare

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