Esempi

$(2, 6, - 8)$ , $(- 12, - 2, - 1)$ , $(- 2, 8, 9)$ , $(3, 0, 0)$

Passaggio 1

Dati i punti $C = (- 2, 8, 9)$ e $D = (3, 0, 0)$ , trova un piano contenente i punti $A = (2, 6, - 8)$ e $B = (- 12, - 2, - 1)$ che sia parallelo alla retta $CD$ .

$A = (2, 6, - 8)$

$B = (- 12, - 2, - 1)$

$C = (- 2, 8, 9)$

$D = (3, 0, 0)$

Passaggio 2

Innanzitutto, calcola il vettore direzionale della retta passante per i punti $C$ e $D$ . Ciò può essere effettuato prendendo il valori delle coordinate del punto $C$ e sottraendole dal punto $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $x$ , $y$ e $z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore $V_{CD}$ per la retta $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Passaggio 4

Calcola il vettore direttore di una retta attraverso i punti $A$ e $B$ usando lo stesso metodo.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $x$ , $y$ e $z$ quindi semplifica per ottenere il vettore direttore $V_{AB}$ per la retta $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Passaggio 6

Il piano della soluzione conterrà una retta che a sua volta contiene i punti $A$ e $B$ e il vettore direttore $V_{A B}$ . Per far sì che questo piano sia parallelo alla retta $C D$ , trova il vettore normale del piano, che è anche ortogonale al vettore direttore della retta $C D$ . Calcola il vettore normale trovando il prodotto vettoriale $V_{A B}$ x $V_{C D}$ attraverso il determinante della matrice $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Passaggio 7

Calcola il determinante.

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Passaggio 7.1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella riga $1$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 7.1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 7.1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 7.1.3

Il minore per $a_{11}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $1$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica l'elemento $a_{11}$ per il suo cofattore.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Passaggio 7.1.5

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Passaggio 7.1.7

Il minore per $a_{13}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $3$ eliminate.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Passaggio 7.1.8

Moltiplica l'elemento $a_{13}$ per il suo cofattore.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.1.9

Somma i termini.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2

Calcola $| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Moltiplica $- 8$ per $- 9$ .

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 8 \cdot 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 56$ .

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $72$ e $56$ .

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Moltiplica $- 14$ per $- 9$ .

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $7$ .

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.3.2.2

Sottrai $35$ da $126$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Passaggio 7.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 7.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1.1

Moltiplica $- 14$ per $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Passaggio 7.4.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Passaggio 7.4.2.2

Somma $112$ e $40$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Passaggio 7.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.1

Sposta $128$ alla sinistra di $i$ .

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $- 1$ per $91$ .

$128 i - 91 j + 152 k$

Passaggio 8

Risolvi l'espressione $(128) x + (- 91) y + (152) z$ al punto $A$ poiché si trova sul piano. Questo è usato per calcolare la costante nell'equazione per il piano.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $128$ per $2$ .

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $- 91$ per $6$ .

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $152$ per $- 8$ .

$256 - 546 - 1216$

Passaggio 8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 8.2.1

Sottrai $546$ da $256$ .

$- 290 - 1216$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $1216$ da $- 290$ .

$- 1506$

Passaggio 9

Aggiungi la costante per trovare l'equazione del piano $(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ .

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Passaggio 10

Moltiplica $152$ per $z$ .

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

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