Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 & 7 & - 1 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 1.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Passaggio 1.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Passaggio 1.2

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 1.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{array}]$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $- \frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Passaggio 1.4

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 1.4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 1.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1.5.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 2

Le posizioni pivot sono le posizioni con il termine principale $1$ in ogni riga. Le colonne pivot sono colonne con una posizione pivot.

Posizioni pivot: $a_{11}$ e $a_{22}$

Colonne pivot: $1$ e $2$

Passaggio 3

La base dello spazio delle colonne di una matrice si forma considerando le colonne pivot corrispondenti nella matrice originale. La dimensione di $Col (A)$ è il numero di vettori in una base di $Col (A)$ .

Base di $Col (A)$ : ${[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ 1 \end{array}]}$

Dimensione di $Col (A)$ : $2$

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