Esempi

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 3 b - 3 c \\ 3 a - b - 3 c \\ a - b + c \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da $ℝ^{3}$ a $ℝ^{3}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riordina $x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6.2

Riordina $3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6.3

Riordina $x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 7

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 8

La proprietà additiva della trasformazione resta vera.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 9

Perché una trasformazione sia lineare, deve mantenere la moltiplicazione scalare.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Passaggio 10

Scomponi la $p$ da ciascun elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $p$ per ogni elemento nella matrice.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Passaggio 10.2

Applica la trasformazione al vettore.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 3 (p b) - 3 (p c) \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riordina $(p a) - 3 (p b) - 3 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3.2

Riordina $3 ((p a) - (p b) - 3 (p c))$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3.3

Riordina $(p a) - (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4

Scomponi ciascun elemento della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi l'elemento $0, 0$ moltiplicando $a p - 3 b p - 3 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.2

Scomponi l'elemento $1, 0$ moltiplicando $3 a p - 3 b p - 9 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.3

Scomponi l'elemento $2, 0$ moltiplicando $a p - 1 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

Passaggio 11

In questa trasformazione, la seconda proprietà delle trasformazioni lineari viene conservata.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Passaggio 12

Affinché la trasformazione sia lineare, il vettore zero deve essere conservato.

$S (0) = 0$

Passaggio 13

Applica la trasformazione al vettore.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riordina $(0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14.2

Riordina $3 (0) - (0) - 3 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14.3

Riordina $(0) - (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 15

Il vettore zero è preservato nella trasformazione.

$S (0) = 0$

Passaggio 16

Poiché non sono soddisfatte tutte e tre le proprietà delle trasformazioni lineari, non si tratta di una trasformazione lineare.

Trasformazione lineare

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