Esempi

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

Passaggio 1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $3 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$e = 0 - \frac{36}{12}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Dividi $36$ per $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 3$

Passaggio 2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e = 0 - 3$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$e = - 3$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

Passaggio 3

Sostituisci $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ a $3 x^{2} - 6 x$ nell'equazione $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

Passaggio 4

Sposta $- 3$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $3$ a entrambi i lati.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $4 y^{2} + 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{4}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Passaggio 5.4.2.1.3

Dividi $64$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

Passaggio 6

Sostituisci $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ a $4 y^{2} + 8 y$ nell'equazione $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

Passaggio 7

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

Passaggio 8

Semplifica $5 + 3 + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Somma $5$ e $3$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

Passaggio 8.2

Somma $8$ e $4$ .

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

Passaggio 9

Dividi per $12$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Passaggio 10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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