Esempi

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ come un'equazione.

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

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Passaggio 2.1

Completa il quadrato per $- x^{2} - 5 x - 5$ .

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Passaggio 2.1.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

Passaggio 2.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 2.1.3.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{5}{2}$

Passaggio 2.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.4.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

Passaggio 2.1.4.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

Passaggio 2.1.4.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{25}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

Passaggio 2.1.4.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{25}{4}$ per $1$ .

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Passaggio 2.1.4.2.3

$- 5$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Passaggio 2.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

Passaggio 2.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.5.1

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

Passaggio 2.1.4.2.5.2

Somma $- 20$ e $25$ .

$e = \frac{5}{4}$

Passaggio 2.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Passaggio 2.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Passaggio 3

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

Passaggio 4

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 5

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Passaggio 6

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 6.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 6.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Trova il fuoco.

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Passaggio 7.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Passaggio 8

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 9

Trova la direttrice.

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Passaggio 9.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 10

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Fuoco: $(- \frac{5}{2}, 1)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{5}{2}$

Direttrice: $y = \frac{3}{2}$

Passaggio 11

Inserisci il TUO problema