Esempi

$(- 1, - 2)$ , $(2, - 2)$ , $(4, - 2)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

$a$ è la distanza tra il vertice $(4, - 2)$ e il punto di centro $(- 1, - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$a = \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \sqrt{{(4 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ e $1$ .

$a = \sqrt{5^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{25 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$a = \sqrt{25 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Somma $- 2$ e $2$ .

$a = \sqrt{25 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$a = \sqrt{25 + 0}$

Passaggio 2.3.7

Somma $25$ e $0$ .

$a = \sqrt{25}$

Passaggio 2.3.8

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 2.3.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = 5$

Passaggio 3

$c$ è la distanza tra il fuoco $(2, - 2)$ e il centro $(- 1, - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$c = \sqrt{{(2 - (- 1))}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$c = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{9 + {((- 2) - (- 2))}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$c = \sqrt{9 + {(- 2 + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Somma $- 2$ e $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Passaggio 3.3.7

Somma $9$ e $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Passaggio 3.3.8

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 3.3.9

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$c = 3$

Passaggio 4

Usare l'equazione $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci $5$ a $a$ e $3$ a $c$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come ${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(5)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$25 - b^{2} = 3^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$25 - b^{2} = 9$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.4.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- b^{2} = 9 - 25$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $25$ da $9$ .

$- b^{2} = - 16$

Passaggio 4.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 16$ e semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 16$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi $b^{2}$ per $1$ .

$b^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.5.3.1

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$b^{2} = 16$

Passaggio 4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$b = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 4.7

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

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Passaggio 4.7.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$b = \pm 4$

Passaggio 4.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$b = 4$

Passaggio 4.8.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$b = - 4$

Passaggio 4.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$b = 4, - 4$

Passaggio 5

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

$b = 4$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco $(2, - 2)$ e il centro $(- 1, - 2)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è $0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

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Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in $y$ sulla variazione in $x$ , o ascissa e ordinata.

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in $x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in $y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di $x$ e $y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

$m = \frac{- 2 - (- 2)}{- 1 - (2)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$m = \frac{- 2 + 2}{- 1 - (2)}$

Passaggio 6.4.1.2

Somma $- 2$ e $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (2)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 2}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 6.4.3

Dividi $0$ per $- 3$ .

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi orizzontale è $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori $h = - 1$ , $k = - 2$ , $a = 5$ e $b = 4$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(5)}^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{5^{2}} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y - (- 2))}^{2}}{{(4)}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{4^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 9

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