Esempi

$3 x - y = - 4$ , $x - 2 y = - 3$

Passaggio 1

Per determinare l'intersezione di una retta passante per il punto $(p, q, r)$ e perpendicolare al piano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e al piano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Trova i vettori normali del piano $P_{1}$ e del piano $P_{2}$ , dove i vettori normali sono $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifica se il prodotto scalare è 0.

2. Crea una serie di equazioni parametriche tale che $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Sostituisci queste equazioni nell'equazione del piano $P_{2}$ in modo tale che $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ e risolvi per $t$ .

4. usando il valore di $t$ , risolvi le equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ per $t$ per trovare l'intersezione $(x, y, z)$ .

Passaggio 2

Trova i vettori normali per ciascun piano e determina se sono perpendicolari calcolando il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$P_{1}$ è $3 x - y = - 4$ . Calcola il vettore normale $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ dall'equazione del piano della forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Passaggio 2.2

$P_{2}$ è $x - 2 y = - 3$ . Calcola il vettore normale $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ dall'equazione del piano della forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 2, 0 ⟩$

Passaggio 2.3

Calcola il prodotto scalare di $n_{1}$ e $n_{2}$ sommando i prodotti dei corrispondenti valori $x$ , $y$ e $z$ nei vettori normali.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$3 \cdot 1 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 1 \cdot - 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$3 + 2 + 0 \cdot 0$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$3 + 2 + 0$

Passaggio 2.4.3

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Somma $3$ e $2$ .

$5 + 0$

Passaggio 2.4.3.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 3

Quindi costruisci una serie di equazioni parametriche $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando l'origine $(0, 0, 0)$ per il punto $(p, q, r)$ e i valori del vettore normale $5$ per i valori di $a$ , $b$ e $c$ . Questa serie di equazioni parametriche rappresenta la retta attraverso l'origine perpendicolare a $P_{1}$ $3 x - y = - 4$ .

$x = 0 + 3 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Passaggio 4

Sostituisci l'espressione a $x$ , $y$ e $z$ nell'equazione per $P_{2}$ $x - 2 y = - 3$ .

$(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Combina i termini opposti in $(0 + 3 \cdot t) - 2 (0 - 1 \cdot t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Somma $0$ e $3 \cdot t$ .

$3 \cdot t - 2 (0 - 1 \cdot t) = - 3$

Passaggio 5.1.1.2

Sottrai $1 \cdot t$ da $0$ .

$3 \cdot t - 2 (- 1 \cdot t) = - 3$

Passaggio 5.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Riscrivi $- 1 t$ come $- t$ .

$3 t - 2 (- t) = - 3$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$3 t + 2 t = - 3$

Passaggio 5.1.3

Somma $3 t$ e $2 t$ .

$5 t = - 3$

Passaggio 5.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 t = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 t = - 3$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 3}{5}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{- 3}{5}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{3}{5}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione parametrica per $x$ , $y$ e $z$ usando il valore di $t$

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 + 3 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Passaggio 6.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x = 0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica $0 + 3 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Moltiplica $3 (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x = 0 - 3 (\frac{3}{5})$

Passaggio 6.1.3.1.1.2

$- 3$ e $\frac{3}{5}$ .

$x = 0 + \frac{- 3 \cdot 3}{5}$

Passaggio 6.1.3.1.1.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$x = 0 + \frac{- 9}{5}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = 0 - \frac{9}{5}$

Passaggio 6.1.3.2

Sottrai $\frac{9}{5}$ da $0$ .

$x = - \frac{9}{5}$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 - 1 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Passaggio 6.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$

Passaggio 6.2.3

Semplifica $0 - 1 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $- 1 (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 0 + 1 (\frac{3}{5})$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$y = 0 + \frac{3}{5}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $0$ e $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{3}{5}$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{3}{5}))$

Passaggio 6.3.2

Rimuovi le parentesi.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica $0 + 0 \cdot (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0 (- \frac{3}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{3}{5})$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $\frac{3}{5}$ .

$z = 0 + 0$

Passaggio 6.3.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$z = 0$

Passaggio 6.4

Le equazioni parametriche risolte per $x$ , $y$ e $z$ .

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

$x = - \frac{9}{5}$

$y = \frac{3}{5}$

$z = 0$

Passaggio 7

Usando i valori calcolati per $x$ , $y$ e $z$ , il punto di intersezione risulta essere $(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

$(- \frac{9}{5}, \frac{3}{5}, 0)$

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