Trigonometria Esempi

3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia

u = \cos (x)

$u = \cos (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di

\cos (x)

$\cos (x)$ con

u

$u$ .

3 u^{2} + 2 u - 1 = 0

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per un polinomio della forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è

a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3

$a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e la cui somma è

b = 2

$b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi

2

$2$ da

2 u

$2 u$ .

3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi

2

$2$ come

- 1

$- 1$ più

3

$3$ .

3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

Passaggio 1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

3 u - 1

$3 u - 1$ .

(3 u - 1) (u + 1) = 0

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

(3 u - 1) (u + 1) = 0

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

u

$u$ con

\cos (x)

$\cos (x)$ .

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta

3 \cos (x) - 1

$3 \cos (x) - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta

3 \cos (x) - 1

$3 \cos (x) - 1$ uguale a

0

$0$ .

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi

3 \cos (x) - 1 = 0

$3 \cos (x) - 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per

3

$3$ ciascun termine in

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per

3

$3$ ciascun termine in

3 \cos (x) = 1

$3 \cos (x) = 1$ .

\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi

\cos (x)

$\cos (x)$ per

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

\cos (x) = \frac{1}{3}

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = \arccos (\frac{1}{3})

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Calcola

\arccos (\frac{1}{3})

$\arccos (\frac{1}{3})$ .

x = 1.23095941

$x = 1.23095941$

x = 1.23095941

$x = 1.23095941$

Passaggio 3.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

x = 2 (3.14159265) - 1.23095941

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

x = 2 (3.14159265) - 1.23095941

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

Passaggio 3.2.6.2

Semplifica

2 (3.14159265) - 1.23095941

$2 (3.14159265) - 1.23095941$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Moltiplica

2

$2$ per

3.14159265

$3.14159265$ .

x = 6.2831853 - 1.23095941

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

Passaggio 3.2.6.2.2

Sottrai

1.23095941

$1.23095941$ da

6.2831853

$6.2831853$ .

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

x = 5.05222588

$x = 5.05222588$

Passaggio 3.2.7

Trova il periodo di

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.7.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione

\cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 4

Imposta

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

\cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ uguale a

0

$0$ .

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

\cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

\cos (x) = - 1

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = \arccos (- 1)

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ è

π

$π$ .

x = π

$x = π$

x = π

$x = π$

Passaggio 4.2.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

x = 2 π - π

$x = 2 π - π$

Passaggio 4.2.5

Sottrai

π

$π$ da

2 π

$2 π$ .

x = π

$x = π$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione

\cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ vera.

x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

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