Esempi

$A = [\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 8 \\ 1 & 2 & 6 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} 12 \\ - 3 \end{array}]$

Passaggio 1

$C_{1} \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] + C_{2} \cdot [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \end{array}] + C_{3} \cdot [\begin{array}{c} - 8 \\ 6 \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 3 \end{array}]$

Passaggio 2

$C_{1} + 2 C_{2} + 6 C_{3} = - 3 C_{1} - C_{2} - 8 C_{3} = 12$

Passaggio 3

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 8 & 12 \\ 1 & 2 & 6 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 4.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 4.1.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 8 & 12 \\ 1 - 1 & 2 + 1 & 6 + 8 & - 3 - 12 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 8 & 12 \\ 0 & 3 & 14 & - 15 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{3}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 8 & 12 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{14}{3} & \frac{- 15}{3} \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 8 & 12 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & - 5 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 4.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 8 + \frac{14}{3} & 12 - 5 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & - 5 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{10}{3} & 7 \\ 0 & 1 & \frac{14}{3} & - 5 \end{array}]$

Passaggio 5

Usa la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$C_{1} - \frac{10 C_{3}}{3} = 7$

$C_{2} + \frac{14 C_{3}}{3} = - 5$

Passaggio 6

Somma $\frac{10 C_{3}}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C_{1} = 7 + \frac{10 C_{3}}{3}$

$C_{2} + \frac{14 C_{3}}{3} = - 5$

Passaggio 7

Sottrai $\frac{14 C_{3}}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C_{2} = - 5 - \frac{14 C_{3}}{3}$

$C_{1} = 7 + \frac{10 C_{3}}{3}$

Passaggio 8

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(7 + \frac{10 C_{3}}{3}, - 5 - \frac{14 C_{3}}{3}, C_{3})$

Passaggio 9

Non c'è una trasformazione del vettore esistente perché non c'è una soluzione univoca al sistema di equazioni. Poiché non c'è trasformazione lineare, il vettore non è nello spazio della colonna.

Non si trova nello spazio della colonna

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