Statistica Esempi

\begin{matrix} x & P (x) 1 & 0.4 5 & 0.1 8 & 0.2 10 & 0.1 14 & 0.2 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.4 \\ 5 & 0.1 \\ 8 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \\ 14 & 0.2 \end{array}$

Passaggio 1

Dimostra che la tabella soddisfa le due proprietà necessarie per una distribuzione di probabilità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Una variabile casuale discreta

x

$x$ assume una serie di valori separati (ad esempio

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ ...). La sua distribuzione di probabilità assegna una probabilità

P (x)

$P (x)$ a ciascun valore possibile

x

$x$ . Per ciascun valore

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ è compresa tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi e la somma delle probabilità per tutti i valori

x

$x$ possibili equivale a

1

$1$ .

1. Per ogni

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Passaggio 1.2

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.4

$0.4$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.3

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.4

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.5

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.1

$0.1$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.6

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi, perciò soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0.2

$0.2$ è compreso tra

0

$0$ e

1

$1$ inclusi

Passaggio 1.7

Per ogni

x

$x$ , la probabilità

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi, che soddisfa la prima proprietà della distribuzione di probabilità.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori di x

Passaggio 1.8

Trova la somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ .

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

Passaggio 1.9

La somma delle probabilità per tutti i possibili valori di

x

$x$ è

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Somma

0.4

$0.4$ e

0.1

$0.1$ .

0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2

$0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.2$

Passaggio 1.9.2

Somma

0.5

$0.5$ e

0.2

$0.2$ .

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Passaggio 1.9.3

Somma

0.7

$0.7$ e

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Passaggio 1.9.4

Somma

0.8

$0.8$ e

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 1.10

Per ogni

x

$x$ , la probabilità di

P (x)

$P (x)$ rientra tra

0

$0$ e

1

$1$ compresi. Inoltre, la somma delle probabilità per tutti i possibili

x

$x$ è uguale a

1

$1$ , il che significa che la tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità.

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

La tabella soddisfa le due proprietà di una distribuzione di probabilità:

Proprietà 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ per tutti i valori

x

$x$

Proprietà 2:

0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.4 + 0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1$

Passaggio 2

La media attesa di una distribuzione è il valore previsto se le prove della distribuzione continuassero indefinitamente. Equivale a ciascun valore moltiplicato per la sua probabilità discreta.

Expectation = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 1 \cdot 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica

0.4

$0.4$ per

1

$1$ .

Expectation = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 5 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica

5

$5$ per

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 8 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica

8

$8$ per

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 10 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.2$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica

10

$10$ per

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 + 14 \cdot 0.2

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 + 14 \cdot 0.2$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica

14

$14$ per

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 + 2.8

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 + 2.8$

Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 + 2.8

$Expectation = 0.4 + 0.5 + 1.6 + 1 + 2.8$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma

0.4

$0.4$ e

0.5

$0.5$ .

Expectation = 0.9 + 1.6 + 1 + 2.8

$Expectation = 0.9 + 1.6 + 1 + 2.8$

Passaggio 3.2.2

Somma

0.9

$0.9$ e

1.6

$1.6$ .

Expectation = 2.5 + 1 + 2.8

$Expectation = 2.5 + 1 + 2.8$

Passaggio 3.2.3

Somma

2.5

$2.5$ e

1

$1$ .

Expectation = 3.5 + 2.8

$Expectation = 3.5 + 2.8$

Passaggio 3.2.4

Somma

3.5

$3.5$ e

2.8

$2.8$ .

Expectation = 6.3

$Expectation = 6.3$

Expectation = 6.3

$Expectation = 6.3$

Expectation = 6.3

$Expectation = 6.3$

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