Precalcolo Esempi

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due vettori.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto scalare.

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Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Passaggio 2.2.2

Somma $12$ e $32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Passaggio 3.2.3

Somma $36$ e $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| a⃗ | = 10$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Passaggio 4.2.3

Somma $4$ e $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $44$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $44$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $10 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $22$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $5 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Passaggio 6.4.2

Sposta $\sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Passaggio 6.4.4

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Passaggio 6.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Passaggio 6.4.7

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 6.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Passaggio 6.4.7.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Passaggio 6.5

Moltiplica $5$ per $5$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Passaggio 6.6

Calcola $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$θ = 10.30484646$

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