Precalcolo Esempi

(3, 8)

$(3, 8)$ ,

(9, 12)

$(9, 12)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due vettori.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto scalare.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica

3

$3$ per

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

8

$8$ per

12

$12$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Passaggio 2.2.2

Somma

27

$27$ e

96

$96$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 123

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

a⃗ \cdot b⃗ = 123

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

a⃗ \cdot b⃗ = 123

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Passaggio 3

Trova la grandezza di

a⃗

$a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva

3

$3$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva

8

$8$ alla potenza di

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Passaggio 3.2.3

Somma

9

$9$ e

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{73}

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

| a⃗ | = \sqrt{73}

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

| a⃗ | = \sqrt{73}

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di

b⃗

$b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva

9

$9$ alla potenza di

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva

12

$12$ alla potenza di

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Passaggio 4.2.3

Somma

81

$81$ e

144

$144$ .

| b⃗ | = \sqrt{225}

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi

225

$225$ come

15^{2}

$15^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

| b⃗ | = 15

$| b⃗ | = 15$

| b⃗ | = 15

$| b⃗ | = 15$

| b⃗ | = 15

$| b⃗ | = 15$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di

123

$123$ e

15

$15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi

3

$3$ da

123

$123$ .

θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi

3

$3$ da

\sqrt{73} \cdot 15

$\sqrt{73} \cdot 15$ .

θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Passaggio 6.2

Sposta

5

$5$ alla sinistra di

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ .

θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica

\frac{41}{5 \sqrt{73}}

$\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ per

\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica

\frac{41}{5 \sqrt{73}}

$\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ per

\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}

$\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Passaggio 6.4.2

Sposta

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Passaggio 6.4.3

Eleva

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ alla potenza di

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Passaggio 6.4.4

Eleva

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ alla potenza di

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Passaggio 6.4.5

Usa la regola della potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.6

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Passaggio 6.4.7

Riscrivi

{\sqrt{73}}^{2}

${\sqrt{73}}^{2}$ come

73

$73$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.7.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{73}

$\sqrt{73}$ come

73^{\frac{1}{2}}

$73^{\frac{1}{2}}$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.7.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Passaggio 6.4.7.5

Calcola l'esponente.

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Passaggio 6.5

Moltiplica

5

$5$ per

73

$73$ .

θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Passaggio 6.6

Calcola

\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})

$\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

θ = 16.31385242

$θ = 16.31385242$

θ = 16.31385242

$θ = 16.31385242$

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