Precalcolo Esempi

f (θ) = 4 cos (3 θ)

$f (θ) = 4 \cos (3 θ)$

Passaggio 1

usa la forma

a cos (b x - c) + d

$a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili usate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

a = 4

$a = 4$

b = 3

$b = 3$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza

| a |

$| a |$ .

Ampiezza:

4

$4$

Passaggio 3

Trova il periodo di

4 cos (3 x)

$4 \cos (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2

Sostituisci

b

$b$ con

3

$3$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 3 |}

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 3.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

3

$3$ è

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Sfasamento:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di

c

$c$ e

b

$b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento:

\frac{0}{3}

$\frac{0}{3}$

Passaggio 4.3

Dividi

0

$0$ per

3

$3$ .

Sfasamento:

0

$0$

Sfasamento:

0

$0$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza:

4

$4$

Periodo:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di

x = 0

$x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

0

$0$ nell'espressione.

f (0) = 4 cos (3 (0))

$f (0) = 4 \cos (3 (0))$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica

3

$3$ per

0

$0$ .

f (0) = 4 cos (0)

$f (0) = 4 \cos (0)$

Passaggio 6.1.2.2

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

f (0) = 4 \cdot 1

$f (0) = 4 \cdot 1$

Passaggio 6.1.2.3

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

f (0) = 4

$f (0) = 4$

Passaggio 6.1.2.4

La risposta finale è

4

$4$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ nell'espressione.

f (\frac{π}{6}) = 4 cos (3 (\frac{π}{6}))

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Scomponi

3

$3$ da

6

$6$ .

f (\frac{π}{6}) = 4 cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))$

Passaggio 6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

f (\frac{π}{6}) = 4 cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))$

Passaggio 6.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

f (\frac{π}{6}) = 4 cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (\frac{π}{2})$

f (\frac{π}{6}) = 4 cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.2.2.2

Il valore esatto di

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ è

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 4 \cdot 0

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica

4

$4$ per

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 0

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 6.2.2.4

La risposta finale è

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ nell'espressione.

f (\frac{π}{3}) = 4 cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

f (\frac{π}{3}) = 4 cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

f (\frac{π}{3}) = 4 cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cos (π)$

f (\frac{π}{3}) = 4 cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cos (π)$

Passaggio 6.3.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

f (\frac{π}{3}) = 4 (- cos (0))

$f (\frac{π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

Passaggio 6.3.2.3

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)

$f (\frac{π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3.2.4

Moltiplica

4 (- 1 \cdot 1)

$4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 4 \cdot - 1

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2.4.2

Moltiplica

4

$4$ per

- 1

$- 1$ .

f (\frac{π}{3}) = - 4

$f (\frac{π}{3}) = - 4$

f (\frac{π}{3}) = - 4

$f (\frac{π}{3}) = - 4$

Passaggio 6.3.2.5

La risposta finale è

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ nell'espressione.

f (\frac{π}{2}) = 4 cos (3 (\frac{π}{2}))

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

3

$3$ e

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (\frac{π}{2}) = 4 cos (\frac{3 π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cos (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 6.4.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

f (\frac{π}{2}) = 4 cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 6.4.2.3

Il valore esatto di

cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ è

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 0

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 0$

Passaggio 6.4.2.4

Moltiplica

4

$4$ per

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 0

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 6.4.2.5

La risposta finale è

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

f (\frac{2 π}{3}) = 4 cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune di

3

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

f (\frac{2 π}{3}) = 4 cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Passaggio 6.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

f (\frac{2 π}{3}) = 4 cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (2 π)$

f (\frac{2 π}{3}) = 4 cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (2 π)$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai delle rotazioni complete di

2 π

$2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a

0

$0$ e minore di

2 π

$2 π$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 4 cos (0)

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (0)$

Passaggio 6.5.2.3

Il valore esatto di

cos (0)

$\cos (0)$ è

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 1

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 1$

Passaggio 6.5.2.4

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 4

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

Passaggio 6.5.2.5

La risposta finale è

4

$4$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

\begin{matrix} x & f (x) 0 & 4 \frac{π}{6} & 0 \frac{π}{3} & - 4 \frac{π}{2} & 0 \frac{2 π}{3} & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 4 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 4 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 4 \end{array}$

\begin{matrix} x & f (x) 0 & 4 \frac{π}{6} & 0 \frac{π}{3} & - 4 \frac{π}{2} & 0 \frac{2 π}{3} & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 4 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 4 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 4 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza:

4

$4$

Periodo:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Sfasamento: nessuno

Traslazione verticale: no

\begin{matrix} x & f (x) 0 & 4 \frac{π}{6} & 0 \frac{π}{3} & - 4 \frac{π}{2} & 0 \frac{2 π}{3} & 4 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 4 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 4 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 4 \end{array}$

Passaggio 8

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