Precalcolo Esempi

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 3 & 0 & 1 4 & 3 & 0 & 3 1 & 2 & 2 & 4 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + & - - & + & - & + + & - & + & - - & + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.9

The minor for

a_{14}

$a_{14}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

4

$4$ deleted.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.10

Multiply element

a_{14}

$a_{14}$ by its cofactor.

- 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 1.11

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

Passaggio 2

Moltiplica

0

$0$ per

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 & 3 2 & 2 & 4 2 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} |$ .

0 - 3 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 0 & 3 1 & 2 & 4 1 & 3 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 3 1 & 2 & 4 1 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ - 1 ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 3 & 0 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$0 - 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 3

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} |$ .

$0 - 3 | \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola

$| \begin{array}{c} 4 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 4.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 4.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 4.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Passaggio 4.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} |$

Passaggio 4.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.1.9

Add the terms together.

$0 - 3 (4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{array} |$ .

$0 - 3 (4 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} | + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 3 (4 (2 \cdot 4 - 3 \cdot 4) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$4$ .

$0 - 3 (4 (8 - 3 \cdot 4) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$4$ .

$0 - 3 (4 (8 - 12) + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai

$12$ da

$8$ .

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 1 \cdot 2)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.4.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 (3 - 2)) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai

$2$ da

$3$ .

$0 - 3 (4 \cdot - 4 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Moltiplica

$4$ per

$- 4$ .

$0 - 3 (- 16 + 0 + 3 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$0 - 3 (- 16 + 0 + 3) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.5.2

Somma

$- 16$ e

$0$ .

$0 - 3 (- 16 + 3) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 4.5.3

Somma

$- 16$ e

$3$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5

Calcola

$| \begin{array}{c} 4 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

Add the terms together.

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |)$

Passaggio 5.2

Moltiplica

$0$ per

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

Passaggio 5.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 (6 - 2 \cdot 2) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 (6 - 4) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai

$4$ da

$6$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} | + 0)$

Passaggio 5.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2) + 0)$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 (3 - 1 \cdot 2) + 0)$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 (3 - 2) + 0)$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai

$2$ da

$3$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (4 \cdot 2 - 3 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Moltiplica

$4$ per

$2$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (8 - 3 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (8 - 3 + 0)$

Passaggio 5.5.2

Sottrai

$3$ da

$8$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 (5 + 0)$

Passaggio 5.5.3

Somma

$5$ e

$0$ .

$0 - 3 \cdot - 13 + 0 - 1 \cdot 5$

Passaggio 6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica

$- 3$ per

$- 13$ .

$0 + 39 + 0 - 1 \cdot 5$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$5$ .

$0 + 39 + 0 - 5$

Passaggio 6.2

Somma

$0$ e

$39$ .

$39 + 0 - 5$

Passaggio 6.3

Somma

$39$ e

$0$ .

$39 - 5$

Passaggio 6.4

Sottrai

$5$ da

$39$ .

$34$

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