Precalcolo Esempi

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{2 x + 6}{x} - 1$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $2 x + 6$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Passaggio 2.3

$- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

Passaggio 2.5.3

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$\frac{x + 6}{x} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 5

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = - 6$

Passaggio 6

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 6$

Passaggio 7

Trova il dominio di $\frac{x + 6}{x}$ .

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Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 6}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 7.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $1.25$ non è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 6 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 6 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $5$ non è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Vero

$x > 0$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 6 < x < 0$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 6 < x < 0$

Notazione degli intervalli:

$(- 6, 0)$

Passaggio 12

Inserisci il TUO problema