Precalcolo Esempi

x^{2} + 4 y^{2} = 16

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per

16

$16$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a

1

$1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile

a

$a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi,

b

$b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi,

h

$h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e

k

$k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

a = 4

$a = 4$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di

(h, k)

$(h, k)$ . Sostituisci i valori di

h

$h$ e

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova

c

$c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula.

\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{16 - {(2)}^{2}}

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{16 - 1 \cdot 4}

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

\sqrt{16 - 4}

$\sqrt{16 - 4}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai

4

$4$ da

16

$16$ .

\sqrt{12}

$\sqrt{12}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi

12

$12$ come

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi

4

$4$ da

12

$12$ .

\sqrt{4 (3)}

$\sqrt{4 (3)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando

a

$a$ a

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ nella formula.

(0 + 4, 0)

$(0 + 4, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

(4, 0)

$(4, 0)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo

a

$a$ da

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ nella formula.

(0 - (4), 0)

$(0 - (4), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando

c

$c$ a

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ nella formula.

(0 + 2 \sqrt{3}, 0)

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo

c

$c$ da

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ nella formula.

(0 - (2 \sqrt{3}), 0)

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula.

\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva

4

$4$ alla potenza di

2

$2$ .

\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva

2

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai

$4$ da

$16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi

$12$ come

$2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi

$4$ da

$12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi

$4$ come

$2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di

$2$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro:

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Eccentricità:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10

Inserisci il TUO problema