Precalcolo Esempi

x^{2} + 4 y^{2} = 1

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a

1

$1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia

1

$1$ .

x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile

a

$a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi,

b

$b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi,

h

$h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e

k

$k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

a = 1

$a = 1$

b = \frac{1}{2}

$b = \frac{1}{2}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di

(h, k)

$(h, k)$ . Sostituisci i valori di

h

$h$ e

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova

c

$c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula.

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{1 - \frac{1}{4}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.5

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Sottrai

1

$1$ da

4

$4$ .

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Riscrivi

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ come

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando

a

$a$ a

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ nella formula.

(0 + 1, 0)

$(0 + 1, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

(1, 0)

$(1, 0)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo

a

$a$ da

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ nella formula.

(0 - (1), 0)

$(0 - (1), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando

c

$c$ a

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ nella formula.

(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo

c

$c$ da

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ nella formula.

(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula.

\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ per

1

$1$ .

\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3

Applica la regola del prodotto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.5

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

\sqrt{1 - \frac{1}{4}}

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.3.6

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Passaggio 8.3.8

Sottrai

1

$1$ da

4

$4$ .

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 8.3.9

Riscrivi

\sqrt{\frac{3}{4}}

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ come

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 8.3.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Riscrivi

4

$4$ come

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro:

(0, 0)

$(0, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(1, 0)

$(1, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Eccentricità:

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10

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