Precalcolo Esempi

$\frac{4 - y}{(y + 4) (y + 2)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{y + 4}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y + 2}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(y + 4) (y + 2)$ .

$\frac{(4 - y) (y + 4) (y + 2)}{(y + 4) (y + 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 - y) (y + 4) (y + 2)}{(y + 4) (y + 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(4 - y) (y + 2)}{y + 2} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 - y) (y + 2)}{y + 2} = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $4 - y$ per $1$ .

$4 - y = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.6

Riordina $4$ e $- y$ .

$- y + 4 = \frac{(A) (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$- y + 4 = \frac{A (y + 4) (y + 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (y + 2)$ per $1$ .

$- y + 4 = (A) (y + 2) + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- y + 4 = A y + A \cdot 2 + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$- y + 4 = A y + 2 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- y + 4 = A y + 2 A + \frac{(B) (y + 4) (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (y + 4)$ per $1$ .

$- y + 4 = A y + 2 A + (B) (y + 4)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$- y + 4 = A y + 2 A + B y + B \cdot 4$

Passaggio 1.7.6

Sposta $4$ alla sinistra di $B$ .

$- y + 4 = A y + 2 A + B y + 4 B$

Passaggio 1.8

Sposta $2 A$ .

$- y + 4 = A y + B y + 2 A + 4 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$4 = 2 A + 4 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$- 1 = A + B$

$4 = 2 A + 4 B$

$- 1 = A + B$

$4 = 2 A + 4 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $- 1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = - 1$ .

$A + B = - 1$

$4 = 2 A + 4 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 1 - B$

$4 = 2 A + 4 B$

$A = - 1 - B$

$4 = 2 A + 4 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $4 = 2 A + 4 B$ con $- 1 - B$ .

$4 = 2 (- 1 - B) + 4 B$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- 1 - B) + 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 = 2 \cdot - 1 + 2 (- B) + 4 B$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 = - 2 + 2 (- B) + 4 B$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 = - 2 - 2 B + 4 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 - 2 B + 4 B$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 2 B$ e $4 B$ .

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

$4 = - 2 + 2 B$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $4 = - 2 + 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 + 2 B = 4$ .

$- 2 + 2 B = 4$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 B = 4 + 2$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$2 B = 6$

$A = - 1 - B$

$2 B = 6$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 6$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

$B = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

$B = \frac{6}{2}$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $6$ per $2$ .

$B = 3$

$A = - 1 - B$

$B = 3$

$A = - 1 - B$

$B = 3$

$A = - 1 - B$

$B = 3$

$A = - 1 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - 1 - B$ con $3$ .

$A = - 1 - (3)$

$B = 3$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $- 1 - (3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$A = - 1 - 3$

$B = 3$

Passaggio 3.4.2.1.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$A = - 4$

$B = 3$

$A = - 4$

$B = 3$

$A = - 4$

$B = 3$

$A = - 4$

$B = 3$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 4, B = 3$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- 4}{y + 4} + \frac{3}{y + 2}$

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