Esempi

$(2, 4)$ , $(- 4, 9)$

Passaggio 1

Usa la formula del prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due vettori.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Passaggio 2

Trova il prodotto scalare.

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Passaggio 2.1

Il prodotto scalare di due vettori è la somma dei prodotti di ciascuno dei loro componenti.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + 4 \cdot 9$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 4 \cdot 9$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 36$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 8$ e $36$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 28$

Passaggio 3

Trova la grandezza di $a⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Passaggio 3.2.3

Somma $4$ e $16$ .

$| a⃗ | = \sqrt{20}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Passaggio 3.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Passaggio 4

Trova la grandezza di $b⃗$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La norma di una radice quadrata è la somma dei quadrati di ogni elemento nel vettore.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 9^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 9^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 81}$

Passaggio 4.2.3

Somma $16$ e $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{97}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori nella formula.

$θ = \arccos (\frac{28}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $28$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $28$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 \sqrt{5} \sqrt{97}})$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{5} \sqrt{97}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 14}{2 (\sqrt{5} \sqrt{97})})$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5} \sqrt{97}})$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{5 \cdot 97}})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $5$ per $97$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}})$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{14}{\sqrt{485}}$ per $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{\sqrt{485}} \cdot \frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}})$

Passaggio 6.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $\frac{14}{\sqrt{485}}$ per $\frac{\sqrt{485}}{\sqrt{485}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{\sqrt{485} \sqrt{485}})$

Passaggio 6.4.2

Eleva $\sqrt{485}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} \sqrt{485}})$

Passaggio 6.4.3

Eleva $\sqrt{485}$ alla potenza di $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1} {\sqrt{485}}^{1}})$

Passaggio 6.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{1 + 1}})$

Passaggio 6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{\sqrt{485}}^{2}})$

Passaggio 6.4.6

Riscrivi ${\sqrt{485}}^{2}$ come $485$ .

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Passaggio 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{485}$ come $485^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{{(485^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 6.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 6.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485^{1}})$

Passaggio 6.4.6.5

Calcola l'esponente.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$

Passaggio 6.5

Calcola $\arccos (\frac{14 \sqrt{485}}{485})$ .

$θ = 50.52754015$

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