Esempi

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{1}{10^{x}} + 4$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.2

Poiché la funzione $10^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $4$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 3.1.1.2.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $4$ rimosso.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $10^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.3

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $10^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 4 \cdot 10^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

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Passaggio 3.1.3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cdot 10^{x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.5

Somma $0$ e $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Passaggio 3.1.4

Riduci.

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Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune di $10^{x}$ .

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Passaggio 3.1.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Passaggio 3.1.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina il fattore comune di $\ln (10)$ .

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Passaggio 3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Dividi $4$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$4$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 4$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 4$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7

Inserisci il TUO problema