Esempi

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione

$\frac{1}{10^{x}} + 4$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.1.2

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.2

Poiché la funzione

$10^{x}$ tende a

$\infty$ , anche la costante positiva

$4$ moltiplicata per la funzione tende a

$\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.2.1

Considera il limite con il multiplo costante

$4$ rimosso.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.2.2

Poiché l'esponente

$x$ tende a

$\infty$ , la quantità

$10^{x}$ tende a

$\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.2.3

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Passaggio 3.1.1.3

Poiché l'esponente

$x$ tende a

$\infty$ , la quantità

$10^{x}$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.2

Poiché

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$1 + 4 \cdot 10^{x}$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.3

Poiché

$1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$4 \cdot 10^{x}$ rispetto a

$x$ è

$4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

$a^{x} \ln (a)$ dove

$a$ =

$10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.5

Somma

$0$ e

$4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Passaggio 3.1.3.6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

$a^{x} \ln (a)$ dove

$a$ =

$10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Passaggio 3.1.4

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Elimina il fattore comune di

$10^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Passaggio 3.1.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina il fattore comune di

$\ln (10)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Dividi

$4$ per

$1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di

$4$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$4$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 4$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali:

$y = 4$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7

Inserisci il TUO problema