Esempi

- \frac{6 y}{(y + 4) (y - 2)}

$- \frac{6 y}{(y + 4) (y - 2)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto

A

$A$ .

\frac{A}{y + 4}

$\frac{A}{y + 4}$

Passaggio 1.2

B

$B$ .

\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è

(y + 4) (y - 2)

$(y + 4) (y - 2)$ .

- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di

y + 4

$y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y + 4) (y - 2)}{(y + 4) (y - 2)} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di

y - 2

$y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- \frac{6 y (y - 2)}{y - 2} = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.5.2

Dividi

6 y

$6 y$ per

1

$1$ .

- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- (6 y) = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.6

Moltiplica

6

$6$ per

- 1

$- 1$ .

- 6 y = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = \frac{(A) (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di

y + 4

$y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

- 6 y = \frac{A (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = \frac{A (y + 4) (y - 2)}{y + 4} + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi

(A) (y - 2)

$(A) (y - 2)$ per

1

$1$ .

- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = (A) (y - 2) + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

- 6 y = A y + A \cdot - 2 + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = A y + A \cdot - 2 + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.7.3

Sposta

- 2

$- 2$ alla sinistra di

A

$A$ .

- 6 y = A y - 2 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = A y - 2 \cdot A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di

y - 2

$y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

- 6 y = A y - 2 A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}

$- 6 y = A y - 2 A + \frac{(B) (y + 4) (y - 2)}{y - 2}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi

$(B) (y + 4)$ per

$1$ .

$- 6 y = A y - 2 A + (B) (y + 4)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 y = A y - 2 A + B y + B \cdot 4$

Passaggio 1.7.6

Sposta

$4$ alla sinistra di

$B$ .

$- 6 y = A y - 2 A + B y + 4 B$

Passaggio 1.8

Sposta

$- 2 A$ .

$- 6 y = A y + B y - 2 A + 4 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di

$y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 6 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono

$y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 2 A + 4 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$- 6 = A + B$

$0 = - 2 A + 4 B$

$- 6 = A + B$

$0 = - 2 A + 4 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per

$A$ in

$- 6 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come

$A + B = - 6$ .

$A + B = - 6$

$0 = - 2 A + 4 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai

$B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 6 - B$

$0 = - 2 A + 4 B$

$A = - 6 - B$

$0 = - 2 A + 4 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

$A$ con

$- 6 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$A$ in

$0 = - 2 A + 4 B$ con

$- 6 - B$ .

$0 = - 2 (- 6 - B) + 4 B$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica

$- 2 (- 6 - B) + 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 2 \cdot - 6 - 2 (- B) + 4 B$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$- 6$ .

$0 = 12 - 2 (- B) + 4 B$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$0 = 12 + 2 B + 4 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 2 B + 4 B$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma

$2 B$ e

$4 B$ .

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

$0 = 12 + 6 B$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per

$B$ in

$0 = 12 + 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come

$12 + 6 B = 0$ .

$12 + 6 B = 0$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.3.2

Sottrai

$12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 B = - 12$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per

$6$ ciascun termine in

$6 B = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per

$6$ ciascun termine in

$6 B = - 12$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 B}{6} = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi

$B$ per

$1$ .

$B = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

$B = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

$B = \frac{- 12}{6}$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi

$- 12$ per

$6$ .

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

$B = - 2$

$A = - 6 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di

$B$ con

$- 2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$B$ in

$A = - 6 - B$ con

$- 2$ .

$A = - 6 - (- 2)$

$B = - 2$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica

$- 6 - (- 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 2$ .

$A = - 6 + 2$

$B = - 2$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma

$- 6$ e

$2$ .

$A = - 4$

$B = - 2$

$A = - 4$

$B = - 2$

$A = - 4$

$B = - 2$

$A = - 4$

$B = - 2$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 4, B = - 2$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in

$\frac{A}{y + 4} + \frac{B}{y - 2}$ con i valori trovati per

$A$ e

$B$ .

$\frac{- 4}{y + 4} + \frac{- 2}{y - 2}$

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