Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$ .

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (4 \cdot 1 - 1 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 1 (4 - 1 \cdot 4) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 1 (4 - 4) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$- 1 \cdot 0 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot 0 + 3 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 1 \cdot 0 + 3 (1 - 1 \cdot 1) + 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 \cdot 0 + 3 (1 - 1) + 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$- 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 0$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + 0$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $0$ .

$0$

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