Esempi

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Passaggio 1

Il nucleo di una trasformazione è un vettore che rende la trasformazione uguale al vettore zero (la pre-immagine della trasformazione).

$[\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}] = 0$

Passaggio 2

Crea un sistema di equazioni a partire dall'equazione del vettore.

$2 a - 6 b + 6 c = 0$

$a + 2 b + c = 0$

$2 a + b + 2 c = 0$

Passaggio 3

Scrivi il sistema come matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{1}$ per $\frac{1}{2}$ per rendere il dato in $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.2

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

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Passaggio 4.2.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ per rendere il dato in $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + 3 & 1 - 3 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

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Passaggio 4.3.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ per rendere il dato in $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.4

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{2}$ per $\frac{1}{5}$ per rendere il dato in $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.5

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

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Passaggio 4.5.1

Esegui l'operazione in riga $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ per rendere il dato in $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (- \frac{2}{5}) & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.6

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{5}{6}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica ogni elemento di $R_{3}$ per $- \frac{5}{6}$ per rendere il dato in $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.6.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.7

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

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Passaggio 4.7.1

Esegui l'operazione in riga $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ per rendere il dato in $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.7.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.8

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

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Passaggio 4.8.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ per rendere il dato in $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.9

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

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Passaggio 4.9.1

Esegui l'operazione in riga $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ per rendere il dato in $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.9.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 6

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 7

Scrivi come insieme di soluzioni.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 8

Il nucleo di $S$ è il sottospazio ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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