Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$

Passaggio 1

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 2

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{3}{2 (2)}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Passaggio 3

Calcola $f (- \frac{3}{4})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 {(- \frac{3}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{4^{2}})) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{3^{2}}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{4^{2}}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{16}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{4}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + 3 (- \frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $3 (- \frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - 3 (\frac{3}{4}) - 4$

Passaggio 3.2.1.7.2

$- 3$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} - 4$

Passaggio 3.2.1.7.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} - 4$

Passaggio 3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 4$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 4$

Passaggio 3.2.2.3

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

Passaggio 3.2.2.6

Riordina i fattori di $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

Passaggio 3.2.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 4 \cdot 8}{8}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 4 \cdot 8}{8}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{9 - 18 - 32}{8}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 9 - 32}{8}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $32$ da $- 9$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 41}{8}$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{41}{8}$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $- \frac{41}{8}$ .

$- \frac{41}{8}$

Passaggio 4

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(- \frac{3}{4}, - \frac{41}{8})$

Passaggio 5

Inserisci il TUO problema