Esempi

$x^{2} + 4 y^{2} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Sottrai $1$ da $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + 1, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(1, 0)$

Passaggio 6.4

Si può trovare il secondo vertice di un'ellissi sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (1), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 1, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ per $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.3.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Passaggio 8.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Passaggio 8.3.8

Sottrai $1$ da $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Passaggio 8.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 8.3.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10

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