Esempi

$(- 1, 2)$ , $(5, 2)$ , $(7, 2)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

$a$ è la distanza tra il vertice $(7, 2)$ e il punto di centro $(- 1, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$a = \sqrt{{(7 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$a = \sqrt{{(7 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Somma $7$ e $1$ .

$a = \sqrt{8^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Passaggio 2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$a = \sqrt{64 + 0}$

Passaggio 2.3.6

Somma $64$ e $0$ .

$a = \sqrt{64}$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$a = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 2.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$a = 8$

Passaggio 3

$c$ è la distanza tra il fuoco $(5, 2)$ e il centro $(- 1, 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$c = \sqrt{{(5 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$c = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Somma $5$ e $1$ .

$c = \sqrt{6^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(2 - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Passaggio 3.3.6

Somma $36$ e $0$ .

$c = \sqrt{36}$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 3.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$c = 6$

Passaggio 4

Usare l'equazione $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci $8$ a $a$ e $6$ a $c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come ${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ .

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Passaggio 4.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Passaggio 4.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$64 - b^{2} = 36$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- b^{2} = 36 - 64$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $64$ da $36$ .

$- b^{2} = - 28$

Passaggio 4.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 28$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 28$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi $b^{2}$ per $1$ .

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi $- 28$ per $- 1$ .

$b^{2} = 28$

Passaggio 4.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$b = \pm \sqrt{28}$

Passaggio 4.7

Semplifica $\pm \sqrt{28}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Passaggio 4.7.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Passaggio 4.7.2

Estrai i termini dal radicale.

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Passaggio 4.8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$b = 2 \sqrt{7}$

Passaggio 4.8.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$b = - 2 \sqrt{7}$

Passaggio 4.8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Passaggio 5

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

$b = 2 \sqrt{7}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco $(5, 2)$ e il centro $(- 1, 2)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è $0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il coefficiente angolare è uguale alla variazione in $y$ sulla variazione in $x$ , o ascissa e ordinata.

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in $x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in $y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori di $x$ e $y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

$m = \frac{2 - (2)}{- 1 - (5)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{- 1 - (5)}$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (5)}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 5}$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Passaggio 6.4.3

Dividi $0$ per $- 6$ .

$m = 0$

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi orizzontale è $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori $h = - 1$ , $k = 2$ , $a = 8$ e $b = 2 \sqrt{7}$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.4.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Passaggio 8.4.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Passaggio 8.5

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{28} = 1$

Passaggio 9

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