Esempi

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a + 3 b - 6 c 2 a + b + c a + 5 b + c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a + 3 b - 6 c \\ 2 a + b + c \\ a + 5 b + c \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da

$ℝ^{3}$ a

$ℝ^{3}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per

$S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3}) \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riordina

$x_{1} + y_{1} + 3 (x_{2} + y_{2}) - 6 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6.2

Riordina

$2 (x_{1} + y_{1}) + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 6.3

Riordina

$x_{1} + y_{1} + 5 (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} + y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} + y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 7

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} \\ 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + 5 x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + 3 y_{2} - 6 y_{3} \\ 2 y_{1} + y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + 5 y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Passaggio 8

La proprietà additiva della trasformazione resta vera.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Passaggio 9

Perché una trasformazione sia lineare, deve mantenere la moltiplicazione scalare.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

Passaggio 10

Scomponi la

$p$ da ciascun elemento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica

$p$ per ogni elemento nella matrice.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

Passaggio 10.2

Applica la trasformazione al vettore.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) + 3 (p b) - 6 (p c) \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riordina

$(p a) + 3 (p b) - 6 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 (p a + p b + p c) \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3.2

Riordina

$2 (p a + p b + p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ (p a) + 5 (p b) + p c \end{array}]$

Passaggio 10.3.3

Riordina

$(p a) + 5 (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p + 3 b p - 6 c p \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4

Scomponi ciascun elemento della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Scomponi l'elemento

$0, 0$ moltiplicando

$a p + 3 b p - 6 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ 2 a p + 2 b p + 2 c p \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.2

Scomponi l'elemento

$1, 0$ moltiplicando

$2 a p + 2 b p + 2 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ a p + 5 b p + c p \end{array}]$

Passaggio 10.4.3

Scomponi l'elemento

$2, 0$ moltiplicando

$a p + 5 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a + 3 b - 6 c) \\ p (2 a + 2 b + 2 c) \\ p (a + 5 b + c) \end{array}]$

Passaggio 11

In questa trasformazione, la seconda proprietà delle trasformazioni lineari viene conservata.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

Passaggio 12

Affinché la trasformazione sia lineare, il vettore zero deve essere conservato.

$S (0) = 0$

Passaggio 13

Applica la trasformazione al vettore.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) + 3 (0) - 6 \cdot 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Riordina

$(0) + 3 (0) - 6 \cdot 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 2 (0) + 0 + 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14.2

Riordina

$2 (0) + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) + 5 (0) + 0 \end{array}]$

Passaggio 14.3

Riordina

$(0) + 5 (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 15

Il vettore zero è preservato nella trasformazione.

$S (0) = 0$

Passaggio 16

Poiché non sono soddisfatte tutte e tre le proprietà delle trasformazioni lineari, non si tratta di una trasformazione lineare.

Trasformazione lineare

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