Esempi

A = [\begin{matrix} 3 & 1 & 2 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \end{array}]$ ,

x = [\begin{matrix} x & 3 y & z \end{matrix}]

$x = [\begin{array}{c} x & 3 y & z \end{array}]$

Passaggio 1

Scrivi come sistema lineare di equazioni.

3 = x

$3 = x$

1 = 3 y

$1 = 3 y$

2 = z

$2 = z$

Passaggio 2

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta le variabili a sinistra e i termini costanti a destra.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sottrai

x

$x$ da entrambi i lati dell'equazione.

3 - x = 0

$3 - x = 0$

1 = 3 y

$1 = 3 y$

2 = z

$2 = z$

Passaggio 2.1.2

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

- x = - 3

$- x = - 3$

1 = 3 y

$1 = 3 y$

2 = z

$2 = z$

Passaggio 2.1.3

Sottrai

3 y

$3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

- x = - 3

$- x = - 3$

1 - 3 y = 0

$1 - 3 y = 0$

2 = z

$2 = z$

Passaggio 2.1.4

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

2 = z

$2 = z$

Passaggio 2.1.5

Sottrai

z

$z$ da entrambi i lati dell'equazione.

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

2 - z = 0

$2 - z = 0$

Passaggio 2.1.6

Sottrai

2

$2$ da entrambi i lati dell'equazione.

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

- z = - 2

$- z = - 2$

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

- z = - 2

$- z = - 2$

Passaggio 2.2

Scrivi il sistema come matrice.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & - 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Trova la forma a scalini ridotta per righe.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{1}

$R_{1}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 0 & - 0 & - - 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{2}

$R_{2}$ per

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ per rendere il dato in

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica ogni elemento di

R_{3}

$R_{3}$ per

- 1

$- 1$ per rendere il dato in

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Usa la matrice risultante per determinare la soluzione finale del sistema di equazioni.

x = 3

$x = 3$

y = \frac{1}{3}

$y = \frac{1}{3}$

z = 2

$z = 2$

Passaggio 2.5

Scrivi un vettore di soluzione risolvendo in base alle variabili libere in ogni riga.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 \frac{1}{3} 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Scrivi come insieme di soluzioni.

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 \frac{1}{3} 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]}$

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 \frac{1}{3} 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]}$

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